Theta / Θ - Notation / Wie Beweisen?

Aufrufe: 59     Aktiv: 28.05.2021 um 10:08

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Hallo!

kann mir jemand sagen, wie ich die Aufgabe da oben am Besten kurz und knackig lösen kann? (Ohne Grenzwert/Lim, wenn das möglich wäre). ^^

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1 Antwort
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Hallo,

setze doch erstmal alles in die Definition ein. Dann kannst du den resultierenden Term vereinfachen und zusammenfassen. Am Ende lässt sich ganz entspannt er Grenzwert bilden. Um den wirst du leider nicht drum herum kommen bei solchen Aufgaben. Aber er wird nicht so schwer sein bei dieser Aufgabe.

Probier dich mal.

Grüße Christian
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Danke für Deinen Tipp! :-)

Aber ich muss zugeben, wenn ich einen Term mit Logarithmus umformen/vereinfachen muss, dann habe ich schon da irgendwie meine Probleme.

Also ich weiß nur, dass man n*log3(n^2) zu 2n * log3(n) vereinfachen kann.
Und n*(log3(n) )^2 kann man zu n*log3^2(n) vereinfachen.

Und nun kann ich den Grenzwert von [ 2n * log3(n) / n*log3^2(n) ] berechnen, ist das korrekt?
  ─   nobrain32 27.05.2021 um 19:17

Sieht schon mal gut aus. Bin mir nicht ganz sicher, was du bei \( (\log_3(n))^2 = \log_3^2(n) \) umformst. Also du lässt nur die Klammer weg oder?
Wenn ja, guck doch mal als nächstes was sich raus kürzt.
  ─   christian_strack 27.05.2021 um 19:37

Ja genau, da habe ich einfach die Klammern aufgelöst, die haben mich einfach zu sehr irritiert.

log3^2(n) ist ja eigentlich nichts anderes als log3(n) * log3(n)


Das heißt ich kann hier beim Zähler und Nenner jeweils das log3(n) wegstreichen, dann habe ich dann das hier:

(i) lim [ 2n / n*log3(n) ]

Jetzt kann ich die n's jeweils noch kürzen:

(ii) lim [ n / log3(n) ]

Und ab hier kann ich nun l'hospital anwenden, kann das sein?
  ─   nobrain32 27.05.2021 um 20:01

Du hast anstatt dem n im Zähler die 2 weggekürzt. Es folgt
$$ \lim\limits_{n \to \infty} 2 \cdot \left| \frac 1 {\log_3(n)} \right|$$
Damit haben wir welchen Grenzwert?
  ─   christian_strack 28.05.2021 um 10:08

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