Isomorphismus zweier Untervektorräume

Aufrufe: 83     Aktiv: 13.01.2024 um 02:26

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Hey, ich habe folgende Aufgabenstellung:

Es seien U und V zwei Untervektorräume gegeben (seht ihr nochmal im Bild oben)von F2^3. Zeigen Sie, dass U isomorph zu V ist. Geben Sie dafur eine geeignete Abbildung an und beweisen Sie ihre Isomorphie. Ich kenne die Eigenschaften der Isomorphie und von Bijektiv. Mir fehlt jedoch jeglicher Ansatz und ich weiß nicht wie ich vorgehen soll. Nur den Anfang hab ich bis jetzt so gewählt:




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Student, Punkte: 60

 
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i) musst Du für ALLE \(\lambda \in \mathbb{F}_2\) und ALLE \(u\in U\) nachweisen. Das sind 8 Kombinationsmöglichkeiten.
EIn bisschen schneller geht's wie folgt: Es ist für alle \(u\in U\): \(\varphi(0\,u) = \varphi\left(\left( \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right)\right) =\left(\begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right) = 0\,\varphi(u) \). Damit hast Du i) für \(\lambda=0\) und für alle \(u\in U\).
Für \(\lambda=1\) und für alle \(u\in U\) kann man i) so ähnlich beweisen.

ii) musst Du für alle \(u,v\in U\) beweisen. Das sind 16 Kombinationsmöglichkeiten.
Hier kann man folgendes ausnutzen: Wenn man "\(\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v)\) "bewiesen hat, dann gilt auch \(\varphi(v+u) = \varphi(v)+\varphi(u) \). Das reduziert die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten auf 10.
Ferner kann man \(\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) \) für \(u=\left( \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right)\) und für ALLE \(v\in U\) in einer Zeile beweisen. Dann verbleiben noch 6 Kombinationsmöglichkeiten.
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