i) musst Du für ALLE \(\lambda \in \mathbb{F}_2\) und ALLE \(u\in U\) nachweisen. Das sind 8 Kombinationsmöglichkeiten.
EIn bisschen schneller geht's wie folgt: Es ist für alle \(u\in U\): \(\varphi(0\,u) = \varphi\left(\left( \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right)\right) =\left(\begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right) = 0\,\varphi(u) \). Damit hast Du i) für \(\lambda=0\) und für alle \(u\in U\).
Für \(\lambda=1\) und für alle \(u\in U\) kann man i) so ähnlich beweisen.

ii) musst Du für alle \(u,v\in U\) beweisen. Das sind 16 Kombinationsmöglichkeiten.
Hier kann man folgendes ausnutzen: Wenn man "\(\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v)\) "bewiesen hat, dann gilt auch \(\varphi(v+u) = \varphi(v)+\varphi(u) \). Das reduziert die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten auf 10.
Ferner kann man \(\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) \) für \(u=\left( \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right)\) und für ALLE \(v\in U\) in einer Zeile beweisen. Dann verbleiben noch 6 Kombinationsmöglichkeiten.