Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge

Aufrufe: 669     Aktiv: 11.12.2020 um 17:04
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Hey, Ich verstehe nicht wieso aus dieser dreiecks ungleichung Folgt, dass jede Konvergente Folge eine cauchy-folge ist. Die Definition einer konvergenten Folge im metrischen raum ist mit auch klar nur bekomme ich es nicht hin, das aus der ungleichung zu folgern. Dankeschön :D
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Hey,

das folgt aus der Grenzwertdefinition über die \( \epsilon \) Umgebung. Für ein fixes \( \epsilon > 0 \) beliebig, existiert ja ein \( N_0 \) ab dem alle weiteren Folgenglieder in der Umgebung des Grenzwertes liegen. Also insbesondere auch die Folgenglieder \( k,l > N_0 \).

Also gilt für beide Folgenglieder, dass sie in der fixierten Umgebung des Grenzwertes liegen. Die Abschätzung mit der Dreiecksungleichung gilt dann allgemein. Aber weil jeder Abstand auf der rechten Seite eben kleiner als \( \epsilon \) ist, lässt sich die Differenz zwischen \( x_k \) und \( x_l \) eben mit \( 2\epsilon \) abschätzen und damit ist die Eigenschaft der Cauchy Folge erfüllt.

Hoffe das reicht als Erklärung.

VG
Stefan

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Hey vielen Dank, Blicke da irgendwie immer noch nicht so durch. Wie könnte ich denn von einer konvergenten Folge im metrischen Raum aus zeigen dass sie eine cauchy-folge ist. Ich glaube dadurch würde mir das klarer werden.   ─   integrationboy 11.12.2020 um 16:43
Habe ich doch mehr oder weniger indirekt beschrieben. Du gehst die Rückrichtung der Dreiecksungleichung. Jede Norm auf der rechten Seite der Ungleichung kannst du mit \( \epsilon \) abschätzen, da das aus der Konvergenz folgt. Entsprechend ist die rechte Seite abzuschätzen durch \( 2\epsilon \). Definiere dir das als \( \tilde{\epsilon} \) und du erfüllst die Definition einer Cauchy Folge.   ─   el_stefano 11.12.2020 um 16:54
Ach Moment oder kann ich sagen, dass eine konvergente folge xn eine cauchy-folge ist da es wegen Konvergenz von xn ein N gibt sodass für n,l>=N gilt d(Xn,a) und d(xl,a). Und dann mit der Ungleichung argumentieren?   ─   integrationboy 11.12.2020 um 16:54
Richtig, das wäre das entsprechende Argument!   ─   el_stefano 11.12.2020 um 16:55
Ah perfekt danke habe nicht verstanden wieso man bei EINER konvergenten Folge mit xk und xl argumentiert.   ─   integrationboy 11.12.2020 um 17:04

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