Addition von linearen Abbildungen

Aufrufe: 262     Aktiv: 10.12.2023 um 18:24
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Es geht um folgende Aufgabe:

Unzwar bin ich noch dabei zu zeigen, dass $\alpha + \beta$ linear ist, aber ich bin auf ein paar Verständnisprobleme gestoßen, die mir nicht so klar sind. Also ich weiß, dass definitionsgemäß laut meinen Unterlagen $(\alpha + \beta)(x)$ = $\alpha(x) + \beta(x)$ gelten sollte. $\alpha(x) + \beta(x)$ sollte auf jeden Fall wieder ein Element von V sein (vorausgesetzt, $x$ ist in U), da V ein K-Vektorraum ist, und die Summe von beliebigen Elementen eines K-Vektorraums wieder in diesem K-Vektorraum erhalten ist. Aber woher weiß ich in welcher Menge $x$ enthalten ist? Und wenn es U sein muss, warum ist das so? Ist das definitionsgemäß so, wenn ich die Summe von 2 Abbildungen bilde, die die gleiche Definitionsmenge haben?

Wenn es ok ist, würde ich die Fragen auch offen lassen, wenn meine obige Frage beantwortet ist. Es kann noch sein, dass ich Fragen zu den weiteren Teilaufgaben habe.

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x ist in der Tat in U, und zwar per definitionem.

Für \(\alpha,\beta:\:U \rightarrow V\) ist die Funktion \(\alpha+\beta\) wie folgt definiert:
    \(\alpha+\beta:\:U \rightarrow V\)                       (1)
    \((\alpha+\beta)(x) = \alpha(x)+\beta(x)\)    (2)
In Gl. (1) steht, dass U der Definitionsbereich von \(\alpha+\beta\) ist.
Das heißt, dass Gl. (2) für alle \(x\in U\) gilt.
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Danke für deine Antwort, hat mir sehr geholfen. Ich bin mittlerweile am überlegen gewesen wie man ein Gegenbeispiel für (a) finden könnte. Erstmal habe ich mir ein Beispiel überlegt, wo die Gleichheit gilt. Dafür habe ich U und V = $\mathbb{R}^{2}$ gesetzt und $\alpha(x,y) = (x,0)$ und $\beta(x,y) = (0,y)$. Dann habe ich $(\alpha + \beta)(x,y) = \alpha(x,y) + \beta(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,y)$ berechnet. Jetzt muss man sich ja die Bilder anschauen: $Im(\alpha)$ entspricht ja dann die X-Achse und $Im(\beta)$ dann der Y-Achse. $Im(\alpha + \beta)$ entspricht dann ja $\mathbb{R}^{2}$. Damit gilt auch die Aussage (a) für dieses Beispiel.
Wenn ich jetzt versuche die Eigenschaften zu analysieren, dann ist mir aufgefallen, dass $Im(\alpha)$ und $Im(\beta)$ keinen "Schnittpunkt" miteinander haben, außer halt der Nullpunkt (0,0). Mein Gedanke wäre jetzt hier ein Beispiel zu konstruieren, wo dies nicht der Fall wäre. Also kurzgesagt soll: $Im(\alpha) \cap Im(\beta) \neq \{0\}$ gelten. Sind meine Überlegungen richtig? Ich wüsste ab hier nicht mehr weiter.   ─   unclever2001 10.12.2023 um 16:15
Ja, Deine Gedanken gehen in die richtige Richtung.
Bei der Konstruktion von Gegenbeispielen sollte man nöglichst einfache Gegenbeispiele finden. Das legt nahe, das Gegenbeispel in EINER Dimension hinzubekommen, also für \(U=V=\mathbb{R}\). Hier lässt sich die Menge der linearen Abbildungen einfach beschreiben: Das sind alle \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), so dass es ein \(c\in\mathbb{R}\) gibt, so dass \(f(x) = cx\).
Also muss man nur zwei Konstanten \(c_1,c_2 \in\mathbb{R}\) finden, so dass \(\alpha,\beta:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \;\alpha(x) = c_1x,\; \beta(x) = c_2x\) ein Gegenbeispiel darstellt.
   ─   m.simon.539 10.12.2023 um 18:24

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