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x ist in der Tat in U, und zwar per definitionem.
Für α,β:U→V ist die Funktion α+β wie folgt definiert:
α+β:U→V (1)
(α+β)(x)=α(x)+β(x) (2)
In Gl. (1) steht, dass U der Definitionsbereich von α+β ist.
Das heißt, dass Gl. (2) für alle x∈U gilt.
Für α,β:U→V ist die Funktion α+β wie folgt definiert:
α+β:U→V (1)
(α+β)(x)=α(x)+β(x) (2)
In Gl. (1) steht, dass U der Definitionsbereich von α+β ist.
Das heißt, dass Gl. (2) für alle x∈U gilt.
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m.simon.539
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Ja, Deine Gedanken gehen in die richtige Richtung.
Bei der Konstruktion von Gegenbeispielen sollte man nöglichst einfache Gegenbeispiele finden. Das legt nahe, das Gegenbeispel in EINER Dimension hinzubekommen, also für U=V=R. Hier lässt sich die Menge der linearen Abbildungen einfach beschreiben: Das sind alle f:R→R, so dass es ein c∈R gibt, so dass f(x)=cx.
Also muss man nur zwei Konstanten c1,c2∈R finden, so dass α,β:R→R,α(x)=c1x,β(x)=c2x ein Gegenbeispiel darstellt.
─ m.simon.539 10.12.2023 um 18:24
Bei der Konstruktion von Gegenbeispielen sollte man nöglichst einfache Gegenbeispiele finden. Das legt nahe, das Gegenbeispel in EINER Dimension hinzubekommen, also für U=V=R. Hier lässt sich die Menge der linearen Abbildungen einfach beschreiben: Das sind alle f:R→R, so dass es ein c∈R gibt, so dass f(x)=cx.
Also muss man nur zwei Konstanten c1,c2∈R finden, so dass α,β:R→R,α(x)=c1x,β(x)=c2x ein Gegenbeispiel darstellt.
─ m.simon.539 10.12.2023 um 18:24
Wenn ich jetzt versuche die Eigenschaften zu analysieren, dann ist mir aufgefallen, dass Im(α) und Im(β) keinen "Schnittpunkt" miteinander haben, außer halt der Nullpunkt (0,0). Mein Gedanke wäre jetzt hier ein Beispiel zu konstruieren, wo dies nicht der Fall wäre. Also kurzgesagt soll: Im(α)∩Im(β)≠{0} gelten. Sind meine Überlegungen richtig? Ich wüsste ab hier nicht mehr weiter. ─ unclever2001 10.12.2023 um 16:15