Hier ein paar Tipps:

Zu \( 1\Rightarrow 2\): Angenommen es gäbe eine andere Zerlegung \( v= u'+w'\). Dann ist \( u-u' = w'-w \). Verwende nun die Tatsache, dass \( U\) und \( W\) Untervektorräume sind und dass \( U \cap W = \{ 0\}  \) um zu zeigen, dass die Zerlegung eindeutig ist.

Zu \( 2 \Rightarrow 3\): Sei \( \lambda _1 u +\lambda _2 w =0 \) für \( u \in U \setminus \{ 0\} \) und \( w \in W \setminus \{ 0\} \). Verwende nun die eindeutige Zerlegung des Nullvektors in \( V\), um zu folgern, dass \( \lambda _1 u\) und \( \lambda _2 w\) beides Nullvektoren sind.

Zu \( 3 \Rightarrow 1\): Angenommen es gäbe ein \( v \in U\cap W\) mit \( v\neq 0\). Wie kann man nun die Aussage aus 3) verwenden, um einen Widerspruch zu erhalten?