Zeige dass die Aussagen äquivalent sind

Erste Frage Aufrufe: 55     Aktiv: 10.02.2021 um 20:12
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Hier ein paar Tipps:

Zu \( 1\Rightarrow 2\): Angenommen es gäbe eine andere Zerlegung \( v= u'+w'\). Dann ist \( u-u' = w'-w \). Verwende nun die Tatsache, dass \( U\) und \( W\) Untervektorräume sind und dass \( U \cap W = \{ 0\}  \) um zu zeigen, dass die Zerlegung eindeutig ist.

Zu \( 2 \Rightarrow 3\): Sei \( \lambda _1 u +\lambda _2 w =0 \) für \( u \in U \setminus \{ 0\} \) und \( w \in W \setminus \{ 0\} \). Verwende nun die eindeutige Zerlegung des Nullvektors in \( V\), um zu folgern, dass \( \lambda _1 u\) und \( \lambda _2 w\) beides Nullvektoren sind.

Zu \( 3 \Rightarrow 1\): Angenommen es gäbe ein \( v \in U\cap W\) mit \( v\neq 0\). Wie kann man nun die Aussage aus 3) verwenden, um einen Widerspruch zu erhalten?

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Student, Punkte: 630
 

3=>1 ist mir unklar , wie soll ich widerspruch benutzen   ─   laralina 10.02.2021 um 17:55

Angenommen es gäbe ein Element \(v\) in \( U\cap W\setminus \{ 0\} \), dann ist \( v \in U \setminus \{ 0\} \) und \( v\in W\setminus \{ 0\} \). Da \( v\) aber linear abhängig zu \(v\) ist, erhalten wir einen Widerspruch zu der Aussage aus 3).
Somit muss \( U\cap W = \{ 0 \} \) sein.
  ─   anonym42 10.02.2021 um 20:12

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