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Zu (a): Erste Ableitung bestimmen und gleich 1 setzen. Dann nach \(x\) umstellen. Der Wert für \(x\) darf von \(t\) abhängen. Dann \(x\) in die Ausgangsfunktion einsetzen und \(y\) ermitteln. Schon hast du deinen Punkt \(P_t\).
Zu (b): Berechne mal die Nullstellen der Funktion. Du wirst schnell erkennen, dass die Funktion \(f_t\) unabhängig von \(t\) immer den Ursprung schneidet. Für den Rest \(x=0\) in die erste Ableitung einsetzen und den Anstieg der Tangente \(m\) bestimmen. Der \(y\)-Achsenschnittpunkt \(n\) ist ja offensichtlich Null, wenn die Tangente durch den Ursprung läuft.
Hoffe das hilft weiter.
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maqu
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Ich habe nun zwei x-Werte herausbekommen. Nun habe ich einmal x1 und x2 in die Ausgangsfunktion eingesetzt. Somit habe ich zwei y-Werte und jetzt? Ich habe nun zwei Pt aber man soll doch nur einen haben. Und wie mache ich das jetzt mit der Kurve auf der die Punkte liegen sollen.? (Wenn ich t kleiner null in ft(x2) einsetze kommt null heraus bei ft(x1) geschieht das für t größer null. Aber was bringt mir diese Erkenntnis - nicht wichtig.)
─
derjohn
22.12.2020 um 22:22
zu (a): Ok also zwei Lösungen sind richtig, aber nur eine hängt von \(t\) ab. Ich komme auf \(P_1(0|0)\) für \(x_1=0\) und \(P_{2,t} \left(-\dfrac{3}{2t} \mid -\dfrac{3}{4t}\right)\) für \(x_2=-\dfrac{3}{2t}\). Damit ist also nur \(P_{2,t}\) dein gesuchter Punkt. Für \(t>0\) liegt der Punkt immer im 3. Quadranten und für \(t<0\) liegt der Punkt immer im 1. Quadranten.
zu (b): Der gemeinsame Punkt ergibt sich durch Einsetzen von \(x=0\) in \(f_t\). Da dies \(f_t(0)=0\) und somit wieder den zuvor berechneten Punkt \(P_1\) ergibt, dessen \(x\)-Wert und \(y\)-Wert unabhängig von \(t\) ist, geht somit jede Funktion der Schar durch diesen Punkt. Für den Anstieg \(m\) der Tangente musst du nun lediglich noch \(x=0\) in die erste Ableitung \(f'_t(x)\) einsetzen. Das ergibt \(m=1\) und somit hast du die Tangente \(t(x)=1\cdot x=x\).
Beantwortet das deine ausstehenden Fragen? Ansonsten kann ich nochmal ein Bild der Funktionenschar hochladen damit es deutlicher wird. ─ maqu 22.12.2020 um 23:00
zu (b): Der gemeinsame Punkt ergibt sich durch Einsetzen von \(x=0\) in \(f_t\). Da dies \(f_t(0)=0\) und somit wieder den zuvor berechneten Punkt \(P_1\) ergibt, dessen \(x\)-Wert und \(y\)-Wert unabhängig von \(t\) ist, geht somit jede Funktion der Schar durch diesen Punkt. Für den Anstieg \(m\) der Tangente musst du nun lediglich noch \(x=0\) in die erste Ableitung \(f'_t(x)\) einsetzen. Das ergibt \(m=1\) und somit hast du die Tangente \(t(x)=1\cdot x=x\).
Beantwortet das deine ausstehenden Fragen? Ansonsten kann ich nochmal ein Bild der Funktionenschar hochladen damit es deutlicher wird. ─ maqu 22.12.2020 um 23:00
Die 1. Ableitung lautet 4/3*t^2*x^2+2*x*t+1 - richtig?
Also lautet die Ausgangsgleichung 1. Ableitung = 1 . ─ derjohn 22.12.2020 um 23:12
Also lautet die Ausgangsgleichung 1. Ableitung = 1 . ─ derjohn 22.12.2020 um 23:12
Genau, dann stellst du nach Null um und schaust welche \(x\) die Gleichung lösen:
\(1=\dfrac{4}{3} t^2x^2 +2tx+1 \quad \Leftrightarrow \quad 0=\dfrac{4}{3}t^2x^2+2tx =x\cdot \left(\dfrac{4}{3}t^2x+2t\right)\)
Dieses Produkt wird Null, wenn eins der Faktoren Null wird. Also 1. Fall \(x_1=0\). Weiter folgt für \(x_2\):
\(0=\dfrac{4}{3}t^2x+2t \quad \Leftrightarrow \quad -2t=\dfrac{4}{3}t^2x \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-\dfrac{3}{2t}\)
Dann einsetzen und du erhältst das entsprechende \(y\) zu deinem Punkt \(P_{2,t}\). ─ maqu 22.12.2020 um 23:27
\(1=\dfrac{4}{3} t^2x^2 +2tx+1 \quad \Leftrightarrow \quad 0=\dfrac{4}{3}t^2x^2+2tx =x\cdot \left(\dfrac{4}{3}t^2x+2t\right)\)
Dieses Produkt wird Null, wenn eins der Faktoren Null wird. Also 1. Fall \(x_1=0\). Weiter folgt für \(x_2\):
\(0=\dfrac{4}{3}t^2x+2t \quad \Leftrightarrow \quad -2t=\dfrac{4}{3}t^2x \quad \Leftrightarrow \quad x_2=-\dfrac{3}{2t}\)
Dann einsetzen und du erhältst das entsprechende \(y\) zu deinem Punkt \(P_{2,t}\). ─ maqu 22.12.2020 um 23:27