Mathe-Olympiade - alte Aufgabe

Aufrufe: 131     Aktiv: 21.03.2022 um 22:08

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Hallo, 

ich bin beim Lösen von alten Aufgaben der Mathematik-Olympiade auf folgende Aufgabe gestoßen, wo ich wirklich erstmal keine Idee hatte, wie ich sie lösen könnte. 
Gibt es jemanden, der sehr begabt ist und mir bei der folgenden Aufgabe helfen könnte mit einem nachvollziehbaren Rechenweg?
Ich wäre sehr dankbar! 

Freundliche Grüße
ein Schüler aus NRW


Quelle:
https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/59/4/A59114a.pdf - 59. Mathematik-Olympiade
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Moin,
für den ersten Teil reicht es zu zeigen, dass \(f(0)<0\) und \(f'(x)>0\) für x>0. Für die rechte Seite der Ungleichung kann man relativ schnell abschätzen, dass für alle x>\(\frac{1}{2020!}\), das Polynom größer 0 ist. Für die linke Seite ist es wahrscheinlich auch am besten das Polynom nach oben abzuschätzen. Man müsste also zeigen, dass für \(a=2020!+2020\) gilt, dass \(a>\prod\limits_{n=1}^{2020}(\frac{1}{a}+n)\) gilt. Mir ist auf die Schnelle aber auch kein Weg eingefallen das zu zeigen.
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Student, Punkte: 2.02K

 

Vielen Dank, nur was genau meinen Sie mit „Abschätzung nach oben“? Wäre das dann Polynominterpolation? Ich bin sehr dankbar für Ihre Antwort und wünsche Ihnen noch einen schönen Abend.   ─   usera92591 21.03.2022 um 21:08

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Nun ja, wenn wir zeigen können, dass das Polynom für \(x=\frac{1}{2020!}\) größer 1 ist, folgt aufgrund der Monotonie des Polynoms die Ungleichung, Man kann also \(x(x+1)(x+2)...>\frac{1}{2020!}(1)(2)(3)....=1\) abschätzen, indem man einfach x>0 benutzt.   ─   fix 21.03.2022 um 21:14

Alles klar, nur wie würden Sie eine Ableitung eines solchen Produkts bilden? Ich hatte die Idee auch, aber macht das bei so einem riesigen Produkt Sinn/ wie funktioniert das dann? Über die Produktregel sicher nicht…

Vielen Dank für Ihre Hilfe…
  ─   usera92591 21.03.2022 um 21:45

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Alle Exponenten und Koeffizienten sind positiv, ausmultipliziert hast du also ein Polynom der Art \(x^{2020}+a_1x^{2019}+a_2x^{2018}+...+2020!-1\) mit \(a_n>0\) für \(n\in \{1,2,...,2019\}\). Dann ist die Ableitung für x>0 auf jeden Fall auch positiv.   ─   fix 21.03.2022 um 21:53

Vielen Dank, ich war mir nur nicht sicher, ob das als formaler Beweis passt - danke vielmals und schönen Abend noch! Sie waren eine große Hilfe!   ─   usera92591 21.03.2022 um 21:58

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Freut mich! Ich guck mir das Problem die Tage noch mal und kann dir dann auch zur linken Ungleichung eine Lösung präsentieren   ─   fix 21.03.2022 um 22:08

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