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Moin,
für den ersten Teil reicht es zu zeigen, dass \(f(0)<0\) und \(f'(x)>0\) für x>0. Für die rechte Seite der Ungleichung kann man relativ schnell abschätzen, dass für alle x>\(\frac{1}{2020!}\), das Polynom größer 0 ist. Für die linke Seite ist es wahrscheinlich auch am besten das Polynom nach oben abzuschätzen. Man müsste also zeigen, dass für \(a=2020!+2020\) gilt, dass \(a>\prod\limits_{n=1}^{2020}(\frac{1}{a}+n)\) gilt. Mir ist auf die Schnelle aber auch kein Weg eingefallen das zu zeigen.
für den ersten Teil reicht es zu zeigen, dass \(f(0)<0\) und \(f'(x)>0\) für x>0. Für die rechte Seite der Ungleichung kann man relativ schnell abschätzen, dass für alle x>\(\frac{1}{2020!}\), das Polynom größer 0 ist. Für die linke Seite ist es wahrscheinlich auch am besten das Polynom nach oben abzuschätzen. Man müsste also zeigen, dass für \(a=2020!+2020\) gilt, dass \(a>\prod\limits_{n=1}^{2020}(\frac{1}{a}+n)\) gilt. Mir ist auf die Schnelle aber auch kein Weg eingefallen das zu zeigen.
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fix
Student, Punkte: 3.82K
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Vielen Dank, nur was genau meinen Sie mit „Abschätzung nach oben“? Wäre das dann Polynominterpolation? Ich bin sehr dankbar für Ihre Antwort und wünsche Ihnen noch einen schönen Abend.
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integrallogarithmus
21.03.2022 um 21:08
Nun ja, wenn wir zeigen können, dass das Polynom für \(x=\frac{1}{2020!}\) größer 1 ist, folgt aufgrund der Monotonie des Polynoms die Ungleichung, Man kann also \(x(x+1)(x+2)...>\frac{1}{2020!}(1)(2)(3)....=1\) abschätzen, indem man einfach x>0 benutzt.
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fix
21.03.2022 um 21:14
Alles klar, nur wie würden Sie eine Ableitung eines solchen Produkts bilden? Ich hatte die Idee auch, aber macht das bei so einem riesigen Produkt Sinn/ wie funktioniert das dann? Über die Produktregel sicher nicht…
Vielen Dank für Ihre Hilfe… ─ integrallogarithmus 21.03.2022 um 21:45
Vielen Dank für Ihre Hilfe… ─ integrallogarithmus 21.03.2022 um 21:45
Alle Exponenten und Koeffizienten sind positiv, ausmultipliziert hast du also ein Polynom der Art \(x^{2020}+a_1x^{2019}+a_2x^{2018}+...+2020!-1\) mit \(a_n>0\) für \(n\in \{1,2,...,2019\}\). Dann ist die Ableitung für x>0 auf jeden Fall auch positiv.
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fix
21.03.2022 um 21:53
Vielen Dank, ich war mir nur nicht sicher, ob das als formaler Beweis passt - danke vielmals und schönen Abend noch! Sie waren eine große Hilfe!
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integrallogarithmus
21.03.2022 um 21:58
Freut mich! Ich guck mir das Problem die Tage noch mal und kann dir dann auch zur linken Ungleichung eine Lösung präsentieren
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fix
21.03.2022 um 22:08