Intervall finden, in dem Fixp.iteration konvergiert

Erste Frage Aufrufe: 236     Aktiv: 05.07.2023 um 21:16

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Hi,
folgende Aufgabe:

Gegeben:
f(x) = x^3 − 4x + 2 = 0, x ∈ R

und die zugehörige Fixpunktgleichung:
F(x) = 0.25x^3 + 0.5

"Bestimmen Sie einen Bereich, in dem die entsprechende Fixpunktiteration konvergiert."

 

Ich verstehe nicht, wie ich hier als Ergebnis ein Intervall herausbekommen soll. Bisher haben wir den bannachschen fp Satz ausschließlich auf das Nullstellenproblem angewandt, um nachzuweisen, dass genau 1 NS existiert.

Eine ähnliche Aufgabe ist diese hier:

f (x) = ln(x) − x + 2

F1(x) = ln(x) + 2
F2(x) = e^(x−2)

Berechnen Sie die Intervalle I1und I2 für die die Startwerte der beiden Fixpunktiterationen konvergieren. (F1 : I1 −→ I1und F2 : I2 −→ I2 ist erfüllt)
Welche Startwerte sind hier gemeint, und wie bekomme ich die Intervallgrenzen für I1 und I2?

Ist mein erster Beitrag hier, geht also nicht darum, Hausaufgaben zu lösen, sondern Klausurvorbereitung^^

Danke und LG

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Fixpunkt- oder Nullstellengleichung spielt keine Rolle, weil man die eine Form in die andere umschreiben kann.
Hast Du überhaupt jemals eine Fixpunktiteration selbst gerechnet?
Wenn nein, tu das mal an irgendeinem Beispiel (es geht nur darum, die Folge auszurechnen).
Wenn ja, dann weißt Du, was ein Startwert ist.
Und lies genau: Die Startwerte konvergieren gar nicht, sondern die Iteration (d.h. die durch Iteration erzeugte Folge).
Der Banachsche FPS gibt Voraussetzungen dafür an. Lies auch den genau durch.
Das Intervall kann man nicht berechnen, es gibt auch kein eindeutiges Intervall. Es ist also EIN Intervall gesucht, nicht DAS (mach Dir den Unterschied genau klar). Man findet eines, indem man die Voraussetzungen des BFPS für irgendein Intervall nachweist. Durch Probieren kann man z.B. eine Vermutung gewinnen.
Aber soweit bist Du noch lange nicht. Arbeite erstmal die obigen Tipps durch. Sonst hat der Nachweis gar keinen Sinn.

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