Fixpunkt- oder Nullstellengleichung spielt keine Rolle, weil man die eine Form in die andere umschreiben kann.
Hast Du überhaupt jemals eine Fixpunktiteration selbst gerechnet?
Wenn nein, tu das mal an irgendeinem Beispiel (es geht nur darum, die Folge auszurechnen).
Wenn ja, dann weißt Du, was ein Startwert ist.
Und lies genau: Die Startwerte konvergieren gar nicht, sondern die Iteration (d.h. die durch Iteration erzeugte Folge).
Der Banachsche FPS gibt Voraussetzungen dafür an. Lies auch den genau durch.
Das Intervall kann man nicht berechnen, es gibt auch kein eindeutiges Intervall. Es ist also EIN Intervall gesucht, nicht DAS (mach Dir den Unterschied genau klar). Man findet eines, indem man die Voraussetzungen des BFPS für irgendein Intervall nachweist. Durch Probieren kann man z.B. eine Vermutung gewinnen.
Aber soweit bist Du noch lange nicht. Arbeite erstmal die obigen Tipps durch. Sonst hat der Nachweis gar keinen Sinn.