Umlaufzahl eines komplexen Polynoms

Aufrufe: 62     Aktiv: 14.05.2022 um 17:40

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Hallo, 

Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen, stehe aber ganz stark auf dem Schlauch.

Sei $p$ mit $p(z)=  \sum_{k=0}^{n} a_k z^k$ ein komplexes Polynom vom Grad $n\geq$1. Sei $\gamma_r :[0,2\pi] \rightarrow \mathbb{C}$ eine Kurve mit $ \gamma_r(t)=p(r \cdot e^{it})$ und $r<0$

a) Welche Bedingung muss für r erfüllt sein, damit $W(\gamma_r,0)$ definiert ist? 

Also berechnen würde ich die Umlaufzahl so (glaube ich, ich verstehe nicht ganz, wie ich das hier anwenden würde. Setzte ich hier dann für z meine Kurve Gamma ein?

$$ W(\gamma,0)= \frac{1}{2\pi i }\int_\gamma \frac{dz}{z}$$
Ich 
Ich glaube erstmal muss $r$ so definiert sein, dass 0 nicht auf der Kurve liegt, oder?
Gibt es sonst noch Einschränkungen an das Integral, die mit $r$ zusammenhängen?

b) Bestimmen Sie die Windungszahl für $r$ gegen $\infty$ und $r$ gegen $0$. 

Ich habe leider kein wirklichen Ansatz. Ich hoffe, dass ihr mir trotzdem helfen könnt. Vielen Dank!

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