Absolute Konvergent beweisen

Aufrufe: 106     Aktiv: 28.04.2024 um 12:00

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Hallo Zusammen,

ich sitze an einer Aufgabe, bei der ich Hilfe brauche. Bei der 2 (d) habe ich mir überlegt, ob man |(a_k)^2| = (1/k^2) als Gegenbeispiel nehmen könnte, aber intuitiv würde ich sagen das die (d) richtig ist und bin mir daher unsicher, ob das Gegenbeispiel gilt. Ich würde mich um eine Antwort bzw Hilfe freuen.

LG
Mo

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Student, Punkte: 16

 

Intuition ist eine gute Sache, aber als Lösung reicht das nicht. Schreib Deine Lösung vollständig auf und lade sie hoch (oben "Frage bearbeiten"). Dann sehen wir weiter.
Mit "würde", "könnte" kommen wir nicht weiter. "Machen" ist angesagt.
  ─   mikn 27.04.2024 um 20:02

Dein Gegenbeispiel kannst Du nehmen.
Naja, fast, denn durch 0 darf man nicht teilen, also: \(\displaystyle a_k = \frac{1}{k+1}\).
Allerdings brauchst Du, dass \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_k =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \) absolut konvergent ist.
Da \(\displaystyle \frac{1}{k^2} >0 \), ist "absolute Konvergenz" gleichbedeutend mit "Konvergenz".
Also reicht es, wenn Du voraussetzen darft, dass \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \) konvergiert.
Das ist so; Euler hat sogar den Grenzwert berechnet: \(\displaystyle \frac{\pi^2}{6} \).
  ─   m.simon.539 28.04.2024 um 00:08
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1 Antwort
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a) Ist falsch - nimm $a_n= \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}$. Die harmonische Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n^2$ divergiert, aber die die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$  konvergiert nach dem Leibnizkriterium.

b) Ist korrekt: Da die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ (absolut) konvergiert, haben wir $|a_n| \leq C$ für ein $C>0$ unabhängig von $n$. Damit gilt aber auch

$$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2 \leq C \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| < \infty.$$

c)+d) Beide falsch: $a_n=\frac{1}{n+1}$. Es gilt

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}< \infty $$
aber die harmonische Reihe (siehe oben) divergiert. Da $a_n>0$, sind Konvergenz und absolute Konvergenz hier gleich.

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Punkte: 472

 

Etzala sind die Haider schon hier auf maddefragne angekommen und geben mir downvotes.   ─   crystalmath 28.04.2024 um 12:00

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