a) Ist falsch - nimm $a_n= \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}$. Die harmonische Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n^2$ divergiert, aber die die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$  konvergiert nach dem Leibnizkriterium.

b) Ist korrekt: Da die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ (absolut) konvergiert, haben wir $|a_n| \leq C$ für ein $C>0$ unabhängig von $n$. Damit gilt aber auch

$$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2 \leq C \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| < \infty.$$

c)+d) Beide falsch: $a_n=\frac{1}{n+1}$. Es gilt

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}< \infty$$
aber die harmonische Reihe (siehe oben) divergiert. Da $a_n>0$, sind Konvergenz und absolute Konvergenz hier gleich.