Ich würde dir dennoch kurz das Newton Verfahren zum numerischen Lösen solcher Gleichungen vorstellen.

Du hast den Term \( e^x - 1 = 2x \Leftrightarrow 0 = 2x - e^x + 1 \).

Mathematisch gesehen entspricht diese Gleichung also dem Bestimmen der Nullstelle der Funktion \( f(x) = 2x - e^x + 1 \)

Wie oben bereits in den Kommentaren erwähnt, ist das Newton Verfahren ein approximatives Lösungsverfahren, d.h. du startest mit einem Startwert \( x_0 \) und berechnest für den deine nächste Näherung \( x_1 \). Diese Lösung verwendest du wiederum um \( x_2 \) zu bestimmen, bis du hinreichend nah an der gewünschten Lösung bist.

Das Newton Verfahren ist dann definiert durch:

\( x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \)

Das heißt du berechnest die neue Lösung in dem du die alte Lösung in die Funktion und die entsprechende Ableitung einsetzt.

Die Ableitung in deinem Fall lautet: \( f'(x) = 2 - e^x \)

Starten wir nun mit dem Startwert \( x_0 = 1 \). Dann ergibt sich daraus die nächste Lösung durch

\( x_1 = 1 - \frac{2\cdot 1 - e^1 + 1}{2 - e^1} = 1 - \frac{0,2817}{-0,7182} =1,3922 \)

Zur Kontrolle: \( f(x_1) = -0,2392 \)

Wir sind also noch nicht nah genug an der Nullstelle dran. Also müssen wir das ganze nochmal wiederholen mit \( x_1 = 1,3922 \), um \( x_2 \) zu bestimmen

\( x_2 = 1,3922 - \frac{-0,2392}{-2,0237} = 1,274 \)

Auch hier wieder die Kontrolle: \( f(x_2) = -0,0271 \) - Wir erkennen also, dass wir uns der tatsächlichen Lösung annähern.

\( x_3 = 1,274 - \frac{-0,0271}{-1,575} = 1,2568 \)

Der Funktionswert für diese Lösung lautet: \( f(x_3) = -0,00056 \).

Numerisch gesehen befinden wir uns mit unserer Lösung \( x_3 \) somit sehr nah an der gesucht Nullstelle. Demzufolge können wir festhalten, dass eine Lösung deiner Gleichung ungefähr \( x = x_3 = 1,2568 \) beträgt.

Kennst du numerische Lösungsverfahren, wie z.B. das Newton Verfahren und dürft ihr das gegebenenfalls anwenden?

Denn ich sehe keine Möglichkeit das x irgendwie geeignet zu isolieren, um den Lösungswert dann zu bestimmen. Denn irgendwie müsste man ja definitiv den Logarithmus anwenden, dann hat man jedoch auch wieder \( ln(x) \) in der Gleichung stehen, was einem auch nicht weiter hilft. Von daher gehe ich davon aus, dass man das ganze numerisch lösen kann/sollte.