Folgen/Mengen in R^n

Aufrufe: 353     Aktiv: 17.09.2023 um 11:25

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Ich habe ehrlich gesagt Schwierigkeiten herauszufinden, welche davon wahr sind. Für Tipps wäre ich dankbar
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Bei E muss es wohl $x_i\in\overline{\Omega_6} \; \forall i\,\in\;$N heißen ?   ─   user77e28f 16.09.2023 um 08:37
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Hier ein paar Tipps:

Bei Aussage A sind Mengen ineinander enthalten, wie bei "Puppe in der Puppe", oder der Intervallschachtelung. Bei der Intervallschachtelung ist die Schnittmenge aller Intervalle ein einzelner Punkt. Das legt nahe, dass Aussage A richtig ist. Aber bei der Intervallschachtelung geht die Intervall-Länge gegen 0. Wenn aber die "Größe" von \(\Omega_i\) nicht gegen null geht, dann haben die \( x_i \) Platz zum "Tanzen". Ein Gegenbeispiel lässt sich am leichtesten für \(n=1\) konstruieren. Mit "Tanzen" meine ich hin- und herspringen. Z.B. tanzt die Folge \( ((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}} \).

Bei Aussage B werden die \(\Omega_i\) immer größer - dann haben die \( x_i \) erst recht Platz zum "Tanzen".

Bei Aussage C konvergiert die Größe der \(\Omega_i\) gegen 0. Damit werden die \( x_i \) immer dichter an y herangedrückt. Sowas riecht nach Konvergenz.

Bei Aussage D muss man bedenken, dass  \(\Omega_1\) offen ist. Wäre \(\Omega_1\) abgeschlossen, dann wäre die Aussage richtig. Da offene Mengen selten abgeschlossen sind, liegt es nahe, dass Aussage D falsch ist. Also nehme man als Gegenbeispiel irgendeine offene Menge, die nicht abgeschlossen ist, z.B. \(\Omega_1=(0,1)\). Dann muss man eine Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}\) von reellen Zahlen finden, die gegen eine Zahl y konvergiert, so dass \(x_i\in(0,1)\), aber \(y\not\in(0,1)\). Ich denke, da lässt sich was finden.

Bei Aussage E muss es \(\lim_{j \rightarrow \infty } x_{i_j} \in \overline{\Omega_6}\) heißen. Hier wird stumpf Wissen abgefragt:
1. Im \(\mathbb{R^n}\) ist "kompakt" gleichbedeutend mit "abgeschlossen und beschränkt".
2. In kompakten Mengen hat jede Folge eine konvergente Teilfolge.
Eine kleine Hürde besteht evtl. darin zu zeigen, dass Abschlüsse beschränkter Mengen beschränkt sind.
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