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Hallo,
wie heißt denn die Eigenschaft \( v = \lambda w \)? Wenn man ein \( \lambda \) für je zwei Vektoren finden kann, was bedeutet das für alle Vektoren von \( V \)? Wie genau ist denn die Definition der Dimension eines Vektorraums?
Wird es damit klar?
Grüße Christian
wie heißt denn die Eigenschaft \( v = \lambda w \)? Wenn man ein \( \lambda \) für je zwei Vektoren finden kann, was bedeutet das für alle Vektoren von \( V \)? Wie genau ist denn die Definition der Dimension eines Vektorraums?
Wird es damit klar?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ja die Idee ist erstmal richtig. Die Schlussfolgerung nicht ganz.
Egal welche zwei Vektoren wir aus V nehmen, wir finden immer ein \( \lambda \), sodass \( v = \lambda w \). Das bedeutet, dass \(\textbf{alle}\) Vektoren zueinander linear abhängig sind. In der Basis kann also maximal \( 1 \) Vektor sein. Dieser Fall ist in der Aussage \( \mathrm{dim}_K(V) \leq 1 \) drin. Ob jetzt auch eine Dimension zwischen Null und Eins oder sogar die Dimension Null vorkommen kann, wissen wir erstmal nicht, aber es kann definitiv nicht größer als \(1 \) sein. ─ christian_strack 28.02.2021 um 13:36
Egal welche zwei Vektoren wir aus V nehmen, wir finden immer ein \( \lambda \), sodass \( v = \lambda w \). Das bedeutet, dass \(\textbf{alle}\) Vektoren zueinander linear abhängig sind. In der Basis kann also maximal \( 1 \) Vektor sein. Dieser Fall ist in der Aussage \( \mathrm{dim}_K(V) \leq 1 \) drin. Ob jetzt auch eine Dimension zwischen Null und Eins oder sogar die Dimension Null vorkommen kann, wissen wir erstmal nicht, aber es kann definitiv nicht größer als \(1 \) sein. ─ christian_strack 28.02.2021 um 13:36
Aber in der Aufgabe steht, dass die Dimension kleiner oder gleich eins ist. Die Möglichkeit, dass sie gleich 1 ist verstehe ich -> Man kann ja mit v=λw induktiv angeben, dass es mehrere Vektoren gibt, die linear abhängig sind -> so haben ich schon mal mindestens einen Basisvektor rausgefischt.
Dann gibt es den Teil mit dimK(V)≤1, also kann die Dimension 0 sein? Das wird ja schon laut Aufgabenstellung nicht gehen, denn w ist nicht der Nullvektor.
Für mich hätte es eher Sinn gemacht folgendes zu sagen: dimK(V) ≥ 1. Ich bin mir nicht so sicher wie oft Zeichendreher in Prüfungen vorkommen...
Bitte um Korrektur oder Bestätigung.
─ vic 28.02.2021 um 13:09