Wie bereits die Antwort vorher gesagt hat, funktioniert dein Beweis so leider nicht. Allerdings war deine Grundidee in jedem Falle erstmal gut. Wir nehmen ein \( y \in f(X) \) und betrachten eine beliebige Folge \( (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( f(X) \), die gegen \( y \) konvergiert. Außerdem schreiben wir \( y=f(x) \) und \( y_n = f(x_n) \) für entsprechende \( x,x_n \in X \).

Nun ist \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in der kompakten Menge \( X \subset \mathbb{R}^n \). Das bedeutet, dass die Folge beschränkt ist, mindestens einen Häufungspunkt besitzt und alle ihre Häufungspunkte in \( X \) liegen müssen. Sei nun \( x^\prime \in X \) ein beliebiger Häufungspunkt der Folge. Dann gibt es also eine konvergente Teilfolge \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) mit Grenzwert \( x^\prime \). Aus der Stetigkeit von \( f \) folgt nun \( f(x) \) \( = \lim_{n \to \infty} f(x_n) \) \( = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) \) \( = f(x^\prime) \). Da \( f \) injektiv ist, muss somit \( x^\prime=x \) sein. Wir sehen also, dass \( x \) der eindeutige Häufungspunkt der beschränkten Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist. Damit folgt nun die Konvergenz der Folge gegen \( x \).

Wir erhalten also abschließend \( \lim_{n \to \infty} f^{-1}(y_n) \) \( = \lim_{n \to \infty} x_n \) \( = x \) \( = f^{-1}(y) \) und somit die Stetigkeit von \( f^{-1} \).

Hi.

Zu deiner Lösung: Das funktioniert so leider nicht. Für Teilmengen \( X\subset \mathbb R^n\) und \( Y\in \mathbb R^m\) ist eine Funktion stetig in einem Punkt \( x\in X\), falls für alle Folgen \( x_k\) in \(X\) gilt:
\[ x_k\to x \Longrightarrow f(x_k)\to f(x) .\]
Beachte, dass die Implikation \( f(x_k)\to f(x) \Longrightarrow x_k\to x\) im Allgemeinen nicht gilt. Diese Implikation verwendest du aber im dritt-letzten Schritt.

In deinem Beweis wird auch die Kompaktheit von \( X\) nicht verwendet. Diese ist aber entscheidend. Hier ein Gegenbeispiel:
Man betrachte den Einheitskreis \(S=\{(x,y)\in \mathbb R ^2\, | \, x^2+y^2=1\}\). Dieser lässt sich als Teilraum von \(\mathbb C\) auffassen:
\[
S\cong \{ e^{i\phi }\, | \phi \in [0, 2\pi ) \} \subset \mathbb C .
\]
Die Abbildung \( f\colon [0,2\pi ) \to S \) sei gegeben durch
\[
f(x)=e^{ix}
\]
Die Abbildung \(f\) ist stetig und bijektiv, aber \(f\) ist kein Homöomorphismus.

Ich hoffe das hilft dir weiter.