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Hallo zusammen

Ich müsste folgende Aufgabe Beweisen:

Sei \(X \subset \mathbb{R}^n\) kompakt und \(f:X\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig und injektiv. Zeige, dass \(f:X\rightarrow f(X)\) eine Homöomorphismus ist, d.h. \(f^{-1}:f(X)\rightarrow X\) ist stetig.

Ich habe mir folgenden Weg überlegt, bin aber ein wenig verwirrt mit all diesen Funktionen f die immer wieder vorkommen. Zusätzlich habe ich im Nachhinein auch gedacht, dass ich die bijektivität gar nicht wirklich brauche, denn da wo ich die bijektivität brauche würde auch die Injektivität genügen, da ja eine injektive Funktion stehts eine Linksinverse mit sich bringt.
Könnte sich das mal kurz jemand anschauen?
Wäre euch wirklich dankbar.

liebe Grüsse:)

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Wie bereits die Antwort vorher gesagt hat, funktioniert dein Beweis so leider nicht. Allerdings war deine Grundidee in jedem Falle erstmal gut. Wir nehmen ein \( y \in f(X) \) und betrachten eine beliebige Folge \( (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( f(X) \), die gegen \( y \) konvergiert. Außerdem schreiben wir \( y=f(x) \) und \( y_n = f(x_n) \) für entsprechende \( x,x_n \in X \).

Nun ist \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in der kompakten Menge \( X \subset \mathbb{R}^n \). Das bedeutet, dass die Folge beschränkt ist, mindestens einen Häufungspunkt besitzt und alle ihre Häufungspunkte in \( X \) liegen müssen. Sei nun \( x^\prime \in X \) ein beliebiger Häufungspunkt der Folge. Dann gibt es also eine konvergente Teilfolge \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) mit Grenzwert \( x^\prime \). Aus der Stetigkeit von \( f \) folgt nun \( f(x) \) \( = \lim_{n \to \infty} f(x_n) \) \( = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) \) \( = f(x^\prime) \). Da \( f \) injektiv ist, muss somit \( x^\prime=x \) sein. Wir sehen also, dass \( x \) der eindeutige Häufungspunkt der beschränkten Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist. Damit folgt nun die Konvergenz der Folge gegen \( x \).

Wir erhalten also abschließend \( \lim_{n \to \infty} f^{-1}(y_n) \) \( = \lim_{n \to \infty} x_n \) \( = x \) \( = f^{-1}(y) \) und somit die Stetigkeit von \( f^{-1} \).
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ah und im letzten schritt also ganz am Schluss hast du dann verwendet dass f bijektiv ist?   ─   karate 06.03.2021 um 23:59

Ja, genau. Sonst würde ja \( f^{-1} \) als Funktion gar keinen Sinn ergeben.   ─   anonym 07.03.2021 um 00:01

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Hi.

Zu deiner Lösung: Das funktioniert so leider nicht. Für Teilmengen \( X\subset \mathbb R^n\) und \( Y\in \mathbb R^m\) ist eine Funktion stetig in einem Punkt \( x\in X\), falls für alle Folgen \( x_k\) in \(X\) gilt:
\[ x_k\to x \Longrightarrow f(x_k)\to f(x) .\]
Beachte, dass die Implikation \( f(x_k)\to f(x) \Longrightarrow x_k\to x\) im Allgemeinen nicht gilt. Diese Implikation verwendest du aber im dritt-letzten Schritt.

In deinem Beweis wird auch die Kompaktheit von \( X\) nicht verwendet. Diese ist aber entscheidend. Hier ein Gegenbeispiel:
Man betrachte den Einheitskreis \(S=\{(x,y)\in \mathbb R ^2\, | \, x^2+y^2=1\}\). Dieser lässt sich als Teilraum von \(\mathbb C\) auffassen:
\[
S\cong \{ e^{i\phi }\, | \phi \in [0, 2\pi ) \} \subset \mathbb C .
\]
Die Abbildung \( f\colon [0,2\pi ) \to S \) sei gegeben durch
\[
f(x)=e^{ix}
\]
Die Abbildung \(f\) ist stetig und bijektiv, aber \(f\) ist kein Homöomorphismus.

Ich hoffe das hilft dir weiter.
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