Wie zeigt man lokale und globale Umkehrbarkeit ?

Aufrufe: 79     Aktiv: 06.07.2021 um 15:57

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Hallo, 
könnte mir Jemand mit dieser Aufgabenstellung weiterhelfen? Ich weiß nicht genau wie man lokale und globale Umkehrbarkeit zeigt.
Ist die Aufgabenstellung erfüllt, wenn man zeigt, dass die determinante der Jakobi Matrix ungleich 0 ist ?

Sei f(x, y) = (x^ 2 − y^ 2 , 2xy).

1. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt (x, y) ungleich (0, 0) lokal umkehrbar ist. Zeigen Sie, dass f surjektiv ist. Ist f : R 2 \ {(0, 0)} → R 2 \ {(0, 0)} global umkehrbar?
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Ja, für den Nachweis der lokalen Umkehrbarkeit zeigt man, dass die Det der Jacobi-Matrix ungleich Null ist.
f surjektiv heißt, für jedes \((u,v)\in R^2\) gibt es ein \((x,y)\) mit \(f(x,y)=(u,v)\). Das weist man nach, indem man aus der Gleichung  \(f(x,y)=(u,v)\) versucht \((x,y)\) zu bestimmen. Man muss es dabei nicht bis zu Ende durchrechnen, es reicht, wenn man nachweist, dass es so ein \((x,y)\) gibt. Das ist ein wenig Rechnen mit quadratischen Gleichungen.
Sollte man nicht nur ein \((x,y)\), sondern mehrere, zu einem \((u,v)\) finden, so kann f nicht global umkehrbar sein (beachte die Einschränkung, dass der Nullpunkt rausgenommen ist). Ob das so ist, oder nicht, sieht man im Laufe der Rechnung.
Probier mal und frage nochmal, sollte es Probleme geben.
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vielen Dank !
muss ich für die surjektivität dann u nach x und v nach y auflösen?
  ─   smila 06.07.2021 um 15:47

Nein, so entkoppelt geht das in diesem Fall nicht. Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten x,y (u und v sieht man als gegeben an), aber nichtlinear. Schreib es Dir mal hin, dann siehst Du das schon.   ─   mikn 06.07.2021 um 15:57

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