Ja, für den Nachweis der lokalen Umkehrbarkeit zeigt man, dass die Det der Jacobi-Matrix ungleich Null ist.
f surjektiv heißt, für jedes \((u,v)\in R^2\) gibt es ein \((x,y)\) mit \(f(x,y)=(u,v)\). Das weist man nach, indem man aus der Gleichung  \(f(x,y)=(u,v)\) versucht \((x,y)\) zu bestimmen. Man muss es dabei nicht bis zu Ende durchrechnen, es reicht, wenn man nachweist, dass es so ein \((x,y)\) gibt. Das ist ein wenig Rechnen mit quadratischen Gleichungen.
Sollte man nicht nur ein \((x,y)\), sondern mehrere, zu einem \((u,v)\) finden, so kann f nicht global umkehrbar sein (beachte die Einschränkung, dass der Nullpunkt rausgenommen ist). Ob das so ist, oder nicht, sieht man im Laufe der Rechnung.
Probier mal und frage nochmal, sollte es Probleme geben.