Zur Veranschaulichung denke an A als die Menge der Schüler einer Schule und darauf die Relation xRy als "x geht in die gleiche Klasse wie y". Überlege Dir, dass das eine ÄR ist.
Diese R erzeugt, na was wohl, auf der Menge der Schüler eine Klasseneinteilung. Die Vereinigung aller Klassen ist wieder die Ausgangsmenge A (d.h. die Menge aller Schüler). Jeder Schüler ist in genau einer Klasse, keiner in zwei oder mehr, keiner in gar keiner. Die Klasse von Schüler x wird dann mit [x] bezeichnet, [x] ist also eine Menge, nämlich die Menge der Schüler, die mit ihm (also x) in Relation stehen.
Daher auch der Name ÄquivalenzKLASSE, KLASSENeinteilung. Denke das auch mal für andere ÄRen durch.

Sei \([a]:=\{b \in A : aRb\}\). Betrachte dann die Menge \(A/R:=\{[a]: a\in A\}\). Zeige nun, dass für \(x,y \in A/R\) entweder \(x=y\) oder \(x \cap y=\emptyset \) gilt. Anschließend zeige \(A=\bigcup_{x \in R/A} x\). Da musst du eigentlich nur die Definitionen anwenden können.