Es seien \(a=\prod\limits_{p\in\mathbb{P}}p^{r_p},\quad b=\prod\limits_{p\in\mathbb{P}}p^{s_p},\quad c=\prod\limits_{p\in\mathbb{P}}p^{t_p}\) Primfaktorzerlegungen von \(a,b\) und \(c\). Wir benutzen

\(\mathrm{ggT}(a,b)=\prod_\limits{p\in\mathbb{P}}p^{\min(r_p,s_p)}\) und \(\mathrm{kgV}(a,b)=\prod_\limits{p\in\mathbb{P}}p^{\max(r_p,s_p)}\)

und führen das Problem damit auf den Beweis der Gleichung 

\(\min(r_p,\max(s_p,t_p))=\max(\min(r_p,s_p),\min(r_p,t_p))\)

zurück (dieser Schritt sollte ausführlicher erklärt werden, sollte mit den obigen Formeln aber schnell gezeigt sein).

1. Fall: Es sei \(r_p\geq\max(s_p,t_p)\). Dann ist die linke Seite gleich \(\max(s_p,t_p)\). Da \(r_p\geq\max(s_p,t_p)\) folgt sofort \(r_p\geq s_p\) und \(r_p\geq t_p\). Damit folgt weiter \(\min(r_p,s_p)=s_p\) und \(\min(r_p,t_p)=t_p\) und rechts erhalten wir ebenfalls \(\max(s_p,t_p)\).

Den Fall \(r_p\leq\max(s_p,t_p)\) schaffst du bestimmt selbst. :)