Zu 1.

Schreibe dir die Aufgabe in Summenschreibweise auf, ist leichter mit zu arbeiten:

\(\sum_{k=1}^n {k^3} = (\sum_{k=1}^n {k})^2\) 

Nun kommt der Beweis, dieser ist durch die gaussche Summenformel möglich (wurde vielleicht in der Oberstufe behandelt, ansonsten einfach mal googleln)

\(\sum_{k=1}^n {k^3} = \frac {n^2*(n+1)^2} {4}\) und \(\sum_{k=1}^n {k} = \frac {n*(n+1)} {2}\)

Diese nutzt du nun:

\(\sum_{k=1}^n {k^3} = \frac {n^2*(n+1)^2} {4} = (\frac {n*(n+1)} {2})^2 = (\sum_{k=1}^n {k})^2\), und damit ist das bewiesen, falls du tatsächlich, wie in dem Titel gesagt, vollständige Induktion nutzen sollst sag nochmal bescheid (kommentar) 

Zu 2.

Auch hier würde ich keine vollständige Induktion empfeheln, erneut machen wir uns eine Schreibweise zunutze, diesmal die Produktschreibweise:

\(\prod_{k=2}^n {1-\frac {k-1} {k}} = \prod_{k=1}^n {\frac{1}{k}}\)

Der erste Term wird nun umgeformt, dafür betrachten wir ersteinmal nur den inneren Term:

\(1-\frac {k-1} {k} = \frac{k}{k} - \frac {k-1}{k} = \frac{k-(k-1)}{k} = \frac {1}{k}\)

Also gilt:

\(\prod_{k=2}^n {1-\frac {k-1} {k}} = \prod_{k=2}^n{\frac{1}{k}}= \prod_{k=1}^n {\frac{1}{k}}\)

Nun können wir noch den Start bei 2 zu einem Start bei 1 ändern, für dies müssen wir nur mit \(\frac {1}{1}\) multiplizieren, was ja den Wert des Terms nicht ändert, und schon haben wir ein Gleichnis.

Zu 1. 

Erneut nutzen wir die Summenschreibweise:

\(\sum_{k=1}^n {k^3} = (\sum_{k=1}^n{k})^2\)

Induktionstart: n=1

\(\sum_{k=1}^ {k^3} = 1 = (\sum_{k=1}^1{k})^2\), wahr

Induktionsvoraussetzung: n->n+1

\(\sum_{k=1}^{n+1} {k^3} = (n+1)^3 + \sum_{k=1}^n{k^3} = (n+1)^3 + (\sum_{k=1}^n{k})^2\) 

\([z.Z. : (n+1)^3 + \sum_{k=1}^n = \sum_{k=1}^{n+1}]\)

Induktionsbeweis: 

Wir nutzen die gaussche Summenformeln:

\(\sum_{k=1}^n {k}= \frac {n*(n+1)}{2}\)

Daraus folgt für unsere Gleichung:

\((n+1)^3+\frac{n^2*(n+1)^2}{4} = \frac {(n+1)^2 * ((n+1)+1)^2}{4}\)

Wir formen einen Term um und danach den nächsten.

Für den Ersten gilt:

\((n+1)^3+\frac{n^2*(n+1)^2}{4} = n^3+3n^2+3n+1+\frac{n^2*(n^2+2n+1)}{4}\)

\(=(4n^3+12n^2+12n+4+n^4+2n^3+n^2)/4 = (n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4\)

Für den Zweiten gilt:

\(((n+1^2)*(n+2)^2)/4 = ((n^2+2n+1)*(n^2+4n+4))/4\)

\(=(n^4+4n^3+4n^2+2n^3+8n^2+8n+n^2+4n+4)/4\)

\(=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4\)

Nun kann man sehen, dass die beiden Endterme gleich sind und somit ist die Induktion bewiesen.

Zu 2. 

Auch hier nutzen wir wieder die Summenschreibweise, diesmal als Produkt:

\(\prod_{k=2}^n(1-\frac{k-1}{k}) = \prod_{k=1}^n(\frac1k)\)

Induktionstart: n=2

\(\prod_{k=2}^n(1-\frac{k-1}{k}) =1-\frac{2-1}2 = \frac12= \prod_{k=1}^2(\frac1k)\), wahr

Induktionsvoraussetzung: n->n+1

\(\prod_{k=2}^{n+1}(1-\frac{k-1}{k}) = (1-\frac{(n+1)-1}{n+1})*\prod_{k=2}^n(1-\frac{k-1}k)\)

\(=(1-\frac{(n+1)-1}{n+1})*\prod_{k=1}^n(\frac1k)\)

\([z.Z. :(1-\frac{(n+1)-1}{n+1})*\prod_{k=1}^n(\frac1k) = \prod_{k=1}^{n+1}(\frac1k)]\)

Induktionsbeweis: 

\((1-\frac{(n+1)-1}{n+1})*\prod_{k=1}^n(\frac1k)\)

\(=(1-\frac{n}{n+1})*\prod_{k=1}^n(\frac1k)\)

\(=(\frac{n+1}{n+1}-\frac{n}{n+1})*\prod_{k=1}^n(\frac1k)\)

\(=(\frac{1}{n+1})*\prod_{k=1}^n(\frac1k)\)

\(=\prod_{k=1}^{n+1}(\frac1k)\)

Damit ist die Gleichung bewiesen