Beweisrichtung

Aufrufe: 95     Aktiv: 14.11.2024 um 16:47
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Liebes Forum,
ich habe eine Frage zur Beweisrichtung bei "genau dann, wenn" Aussagen.

Und zwar habe ich bewiesen, dass die folgende Aussage gilt:

Gegeben seien zwei Ebenen E: n1x+n2y+n3z=d und F:n1x+n2y+n3z=d+-a*|N| (dabei ist N der Normalenvektor von E und F) , dann gilt: Die Ebenen E und F sind parallel zueinander und haben Abstand a.

Meine Frage ist jetzt die folgende:
Angenommen ich habe Ebene E:x+y+3z=4 gegeben und ich soll eine Ebenengleichung einer Ebene F angeben, die parallel zu E ist und einen Abstand von 4 LE zu E hat.
Darf ich dann einfach schreiben: F: x+y+3z=4+-4*|N| mit N=(1;1;3) als Normalenvektor ?

Weil strenggenommen habe ich diese Richtung ja noch nicht bewiesen, also:
Sei a der Abstand der Ebenen E: n1x+n2y+n3z=d. Dann gilt für F: n1x+n2y+n3z=d+-a*|N| mit N als Normalenvektor der Ebene F.
Und genau diese Richtung des Beweises verwende ich aber ja bei der Aufgabe.

Versteht ihr, was ich meine? 

Freue mich auf eure Antworten.
handfeger0
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2 Antworten
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$\pm$ darfst Du in keiner Ebenengleichung schreiben, Du musst Dich schon entscheiden.
Deine Aussage oben lautet korrekt: Der Abstand ist $|a|$.
Deine Vermutung kannst Du ja selbst prüfen: Rechne doch den Abstand der beiden Ebenen aus, wenn er $|a|$ ist, ist die konstruierte Ebene passend.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.94K

 
Wenn Du auf cauchys Antwort reagierst, bekomme ich keine Benachrichtigung.
Deine Formulierung ist korrekt. Das ist aber kein Beweis, sondern nur die Formulierung der Rückrichtung der Aussage. Zum Beweis s.o.
Und ja, die Lösung der Aufgabe ist so legitim.   ─   mikn 14.11.2024 um 13:12
Interessanterweise bekam ich auch gar keine Benachrichtigung... Hier hat sich wohl einiges getan (wohl eher zum Negativen), wie mir scheint... Die Seite hat auch unheimliche Ladezeiten.   ─   cauchy 14.11.2024 um 13:27
Ich hab auch schon länger keine Benachrichtigung bekommen, fällt mir dabei auf. Ladezeiten sind aktuell normal.   ─   mikn 14.11.2024 um 16:47

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Als schöne Ergänzung: Befasse dich mal mit der Hesse'schen Normalform einer Ebene. Damit lässt sich der Abstand eines Punktes von einer Ebene direkt berechnen, womit die Aussage dann auch klar sein dürfte. :)
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Lieber mikn und lieber Cauchy,
danke für eure Anregungen. Ich kenne die Hesse-Form, wollte es aber mit der Koordinatenform herleiten.

Durch eure Anregung habe ich meinen Beweis wie folgt abgeändert (hänge ich. jetzt hier nicht an); es geht mir tatsächlich nur darum, ob der Satz so richtig formuliert ist.

Gegeben sei eine Ebene E: 𝑛_1 𝑥+𝑛_2 𝑦+𝑛_3 𝑧=𝑑 und Ebenen F_a mit 𝑑(𝐸;𝐹_𝑎 )=|𝑎| mit 𝑎∈ℝ. Dann lassen sich die Ebenen F_a durch die Koordinatengleichung F_a: 𝑛_1 𝑥+𝑛_2 𝑦+𝑛_3 𝑧=𝑑+𝑎∙|𝑛 ⃗ | mit 𝑎∈ℝ beschreiben.

@mikn: Jetzt sollte doch formal alles bei dem Satz passen - oder?

Und allgemein: Mit diesem (neuen) Beweis ist es jetzt doch tatsächlich legitim, bei eine Aufgabe, wie: Geben Sie zur Ebene E: 𝑛_1 𝑥+𝑛_2 𝑦+𝑛_3 𝑧=𝑑 beide Ebenen F_1 und F_2 an, die jeweils den Abstand 3 LE zu E haben, einfach zu schreiben: 𝑛_1 𝑥+𝑛_2 𝑦+𝑛_3 𝑧=𝑑+3|𝑛 ⃗ | und 𝑛_1 𝑥+𝑛_2 𝑦+𝑛_3 𝑧=𝑑+(-3)|𝑛 ⃗ |
Weil jetzt habe ich im (neuen) Beweis ja genau diese Richtung bewiesen...

Freue mich auf euer Feedback =)   ─   handfeger0 14.11.2024 um 07:01
Wenn du die Ebenen mit Abstand $a$ allerdings $F_a$ nennst, ist die Bezeichnung in der Aufgabe mit $F_1$ bzw. $F_2$ aber inkonsistent.

Ich würde den Satz auch so nicht formulieren, denn die Ebenen $F_a$ sind meiner Meinung nach ja nicht gegeben. Ich würde eher schreiben:

Für eine Ebene $E:n_1x+n_2y+n_3z=d$ haben die beiden Ebenen, die zu $E$ den Abstand $a\geq 0$ haben, die Koordinatengleichungen $F_a^-:n_1x+n_2y+n_3z=d-a|\vec{n}|$ bzw. $F_a^+:n_1x+n_2y+n_3z=d+a|\vec{n}|$.

Übrigens ist bei einer Aufgabe der Form "angeben" alles legitim. Ein Beweis ist dafür in der Regel nicht erforderlich. Anders wäre es, würde die Aufgabe lauten: "Gegeben Sie begründet ... an" oder "Geben Sie ... an und begründen Sie ihre Wahl." Du brauchst also nur einen Beweis bzw. eine Begründung, wenn die Aufgabe das verlangt. Bei einer einfachen Angabe ist das jedoch nicht erforderlich.   ─   cauchy 14.11.2024 um 13:25

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