Nutzenfunktion mit Nebenbedingung (Lambda)

Erste Frage Aufrufe: 139     Aktiv: 13.03.2022 um 18:45

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Hallo, Bei folgender Funktion komm ich ab einen gewissenpunkt nicht mehr weiter.

Aufgabe: Bestimmen Sie mit dem Lagrangeverfahren das Maximum mit dazugehörigen Extrempunkt der Cobb-Douglas-Funktion

f(x,y) = 5x^2/5 * y^3/5      unter der Nebenbedingung 3x + 2y = 5

Wie gewohnt habe ich die Funktion zuerstmal aufgestellt und 3 Ableitungen gebildet. Ich hab die Ableitung nach x nach Lambda aufgelöst (λ=2/3 x^-3/5 * y^3/5) und in die Ableitung nach y eingesetzt und hier entsteht das Problem. Ich habe eine lange Gleichung, die ich nicht gelöst aufgelöst kriege nach X.

3x^2/5 * y^-2/5 - 4/3 x^-3/5 * y^3/5

Über Hilfe würde ich mich freuen.

 

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die partiellen Ableitungen lauten \({\partial f \over \partial x}= 2({y \over x})^{3 \over 5} + 3 \lambda =0\) ; \({ \partial f \over \partial y}=3({x \over y})^{2 \over 5}+2 \lambda=0\); \({\partial f \over \partial \lambda}=3x+2y-5=0\)
Daraus lässt sich \(\lambda \) eliminieren und es folgt :\(4 ({y \over x})^{3 \over 5}= 6 ({x \over y})^{2 \over 5} \Rightarrow 4y=6x\)
Aus der Nebenbedingung folgt \(y={5-3x \over 2}\) Damit hast du x.
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Danke für deine Antwort, es hat mir schon teils geholfen, jedoch verstehe ich nicht wie du in den partiellen Ableitungen positive Lambdas hast?
Meine nach λ umgestellte Funktion lautet nämlich:
5x^2/5 * y^3/5 - λ(3x +2y -5)

müsste es nicht dementsprechend z.B.: f´ nach x (x,y) = 2(y/x)^3/5 - 3λ sein ? oder übersehe ich etwas?
  ─   landvogt 13.03.2022 um 16:02

Eventuell könnte das noch behilflich sein:
In meinem Studium, berechnen wir zuerst das λ indem wir die Ableitung nach x nach λ umstellen, dann setzen wir das Ergebnis in die Ableitung von Y ein und erhalten somit die Lösung für X oder Y und setzen das Ergebnis dann in die letzte Ableitung nach λ ein.
  ─   landvogt 13.03.2022 um 16:09

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ob \(+ \lambda \) oder \(- \lambda\) ist hier egal.. Es wird so oder so eliminiert und hier nicht berechnet,
Die Elimination des \(\lambda\) erfolgt aus den beiden partiellen Ableitungen nach x und y, denn nur da kommt \(\lambda \) ja vor.
  ─   scotchwhisky 13.03.2022 um 16:19

Das mit der Eliminierung hab ich noch nicht ganz verstanden, aber ich hab nochmal die Aufgabe komplett von vorne gerechnet mit deinen Ableitungen und bin letztendlich auf das richtige Ergebnis gekommen (habe die Lösungen, aber nicht den Rechenweg)
x=2/3 y=3/2
U(2/3; 3/2) soll jedoch die 5. Wurzel von 2/3 sein. Wenn ich die Werte für x und y in die ursprüngliche Nutzenfunktion einsetze kriege ich jedoch 5,42
  ─   landvogt 13.03.2022 um 16:56

Man darf aber zwischendurch nicht wechseln. Man kann von Anfang an mit +lambda rechnen, oder von Anfang an mit -lambda. Auf die Werte von x und y hat das keinen Einfluss.   ─   mikn 13.03.2022 um 16:58

Jup das ist mir bewusst, jedoch hab ich nun den Extrempunkt richtig berechnet, dennoch scheint bei mir das Maximum falsch zu sein...   ─   landvogt 13.03.2022 um 17:20

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Die 5.42 sind jedenfalls der richtige Wert von f. Vielleicht ist mit "Nutzenfunktion" nicht f(x,y) gemeint, oder die Musterlösung ist falsch (das kommt ab und zu vor).   ─   mikn 13.03.2022 um 17:34

Ok, letztendlich ist das halb so wichtig, ich verstehe nun wie man an die Lambdaaufgaben ran gehen muss. Vielen Dank an euch beide :)   ─   landvogt 13.03.2022 um 17:54

Es gibt kein "rangehen muss". Diese Methode muss nicht immer zum Ziel führen. Manchmal gibt es einfachere Ansätze. Insb. sollte man vermeiden durch Variablen zu dividieren (was beim Umstellen leicht passieren kann), weil man sich dann lästige Fallunterscheidungen ins Boot holt (Nenner=0). Diese Fälle liefern auch oft Extrema. Am besten ist generell faktorisieren.
Am besten lernt man das alles durch Üben.
  ─   mikn 13.03.2022 um 18:45

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