Hallo,

Wir können deine Funktion zunächst etwas umschreiben. Es gilt \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

Also \(f(x)=0,5x+\sqrt{9-x^2}=0,5x+(9-x^2)^{\frac{1}{2}}\)

Nun zur Ableitung. Wir wenden zunächst die Summenregel an, nach welcher wir die einzelnen Summanden auch einzeln ableiten dürfen.

Wir leiten also zunächst 0,5x ab. Hierfür multipliziert man den Term bekanntermaßen mit der Potenz von x (hier 1) und subtrahiert dann 1 von der Potenz:

\(0,5x=0,5x^1 Ableitung: 1*0,5x^{1-1}=0,5x^0=0,5\)

Nun zum zweiten Summanden:

Hier müssen wir die sogenannte Kettenregel anwenden. Diese besagt, dass man die "äußere" Ableitung mit der "inneren" multiplizieren muss.

In unserem Fall entspricht alles in der Kalmmer (also \(9-x^2\)) auch dem inneren Teil der abgeleitet werden muss und die Potenz an der Klammer (also \(()^{\frac{1}{2}}\)) entspricht dem äußeren.

Die äußere Ableitung ergibt also 

\(\frac{1}{2}*(9-x^2)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}*(9-x^2)^{-\frac{1}{2}}\)

Und die Innere

\(-2x\) da konstanten wie hier die 9 beim Ableiten entfallen.

Multipliziert ist also die Ableitung von  \((9-x^2)^{\frac{1}{2}}\) gleich

\(\frac{1}{2}*(9-x^2)^{-\frac{1}{2}}*(-2x)\)=\(-x(9-x^2)^{-\frac{1}{2}}\)=\(\frac{-x}{\sqrt{(9-x^2)}}\)

Die umformung gilt, da \(x^{-1}=\frac{1}{x}\).

Insgesamt folgt also für die Ableitung:

\(f'(x)=0,5-\frac{x}{\sqrt{(9-x^2)}}\)

Gruß Tuffte

"D=(-3;3) , also 3>=x>=-3"
Diese Angaben widersprechen sich, außerdem sind die Relationszeichen verkehrt herum.

Die Funktion besitzt i.Ü. zwei Extrema, einen an der Stelle \(x=-3\), den zweiten erhältst du durch nullsetzen der Ableitung.
\(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (0.5x+ \sqrt{9-x^2}) = 0.5 + \dfrac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}} = 0.5- \dfrac{x}{\sqrt{9-x^2}}\)