Also zuerst mal besteht der Raum aus Funktionen und nicht nur einem Punkt. Mithilfe einer Norm können wir Abstände und Längen definieren. Im \(\mathbb R^n\) gibt es dafür beispielsweise die \(\Vert \cdot \Vert_2 \)-Norm. Wenn du jetzt in dem Raum \((C[0,10],\Vert\cdot\Vert_\infty)\) beispielsweise den "Abstand" zweier Funktionen \(f,g\) messen möchtest, dann kannst du das machen, indem du die Norm der Differenz betrachtest. Eine Norm erlaubt es einem auch, den Begriff der Konvergenz zu definieren.
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Außerdem ist die Sup-Norm von \(f\) dann \(\Vert f \Vert_\infty = \sup\limits_{x\in [0,10]} \vert f(x) \vert = \vert f(10) \vert = f(10) \) offensichtlich, da \(f\) monoton wachsend ist. Also ein Funktionswert hat keine Norm in diesem Sinne, aber eine Funktion schon. ─ chrispy 17.05.2020 um 14:22