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Es gibt 3 Verfahren:
- Additionsverfahren
- Gleichsetzungsverfahren
- Einsetzungsverfahren
1.) Additionsverfahren: x oder y gleichwertig machen und dann subtrahieren oder addieren, bei gleichen Vorzeichen subtrahieren und bei unterschiedlichen Vorzeichen addieren.
\(I: 3x + 4y = 2 \)
\(II: 2y-x=8 \ \ |\cdot 2\)
\( II: 4y-2x=16\)
\( II - I \)
\( -5x = 14 \ |:(-5)\)
\( x =-\frac{14}{5} =-2,8\)
Dann setzt man den x-Wert in eine der beiden Gleichungen ein und kriegt den y-Wert raus
\( x \ in \ I: \)
\( 3(-2,8) + 4y = 2 \)
\( -8,4 + 4y = 2\ |+8,4 \)
\( 4y = 10,4\ | :4\)
\( y = \frac{13}{5} = 2,6 | \)
Wenn du den Schnittpunkt suchst, ist es mit allen drei Verfahren möglich den zu berechnen, meistens setzt man zwei Gleichungen gleich und die ergebenen x-und y-Werte sind direkt der Schnittpunkt.
2.) Gleichsetzungsverfahren: Man setzt wie das Verfahren schon heißt: Die beiden Gleichungen gleich.
Wichtig ist dabei, dass man beide Gleichungen nach x oder y umstellt, eine Seite muss also komplett frei sein von Zahlen, da darf nur x oder y stehen.
Ich entscheide mich nach x umzustellen:
\(I: 3x + 4y = 2 \ | -4y \)
\( 3x =2 - 4y \ | :3\)
\( x = \frac{2-4y}{3} \)
Jetzt das gleiche mit den zweiten Gleichung:
\(II: 2y-x=8 |+x\)
\(2y=8 +x |-8\)
\(2y-8=x \)
Jetzt setze ich beide Gleichungen gleich und dadurch verschwindet erstmal x und es bleibt nur die Variable y übrig:
\(I = II\)
\(\frac{2-4y}{3} = 2y-8 \ | \cdot 3\)
\(2-4y = 6y-24 \ |+4y\)
\(2 = 10y-24 \ |+24\)
\(26 = 10y \ |:10\)
\(2,6 = y \)
Jetzt setzt man den y-Wert in eine der beiden Gleichungen ein, nimm immer die, wo man weniger rechnen muss:
\(II: 2y-8=x\)
\( 2(2,6)-8=x\)
\( -2,8=x\)
Und wie man sieht ergibt es wieder die gleichen x und y Werte.
Dein Schnittpunkt heißt also: S(-2,8|2,6).
3.) Einsetzungsverfahren: Wie das Verfahren schon heißt:
Muss man etwas in eine der beiden Gleichungen einsetzen.
Das bedeutet wir stellen eine der beiden Gleichungen nach x oder y um und setzen diesen Term in die andere Gleichung ein.
Ich nehme dafür schon die umgestellte Formel x aus dem Gleichsetzungsverfahren:
\(II: x=2y-8 \)
Setze diesen kompletten Term, für x, in die erste Gleichung ein: (Wichtig! Mit Klammern arbeiten, beim einsetzen!)
\( II \ in \ I \)
\(I: 3x + 4y = 2 \)
\( 3(2y-8) + 4y = 2 \)
\( 6y-24 + 4y = 2 \)
\( 10y-24 = 2 \ |+24\)
\( 10y = 26 \ |:10\)
\( y = 2,6 \)
Den y-Wert setzt man wie gelernt in die zweite Gleichung ein und man hat dann sofort x raus:
\(II: x=2y-8 \)
\(x=2(2,6)-8 \)
\(x=-2,8 \)
Somit hast du jetzt alle 3 Verfahren kennengelernt und der Unterschied zwischen den ist die Rechengeschwindigkeit je nach Aufgabe. Man muss einfach vorher sich entscheiden, welches Verfahren geeignet ist.
Ich hoffe ich konnte es dir ausführlich erklären und wenn du noch Interesse an weiteren Themen hast, schau dir meinen Youtube-Kanal an. Gib "Mathe Versum" auf Youtube ein.
Ich wünsche dir viel Spaß und Erfolg mit Mathe :-)
Mathe Versum
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