Hallo
Also wenn du die Gleichheit zweier Mengen $A=B$ zeigen musst, dann kannst du da zum Beispiel wie folgt vorgehen.

1. Im ersten Schritt zeigst du dass $A\subset B$ ist, das heisst für alle $a\in A \Rightarrow a\in B$
2. Im zweiten Schritt zeigst du dass $B\subset A$ ist, das heisst für alle $b\in B \Rightarrow b\in A$

Dann kannst du daraus schliessen, dass $A=B$

Alternativ kannst du auch die Menge A ausschreiben und dann versuchen umzuformen, also $A=\{...\}=...\text{Umformung}...=B$. 
Oder du kannst auch bereits bewiesene Rechenregeln verwenden die für Mengen gelten.

Was heisst das nun in deinem Fall:
z.B. in Aufgabe 1:

Du zeigst zuerst dass $X\setminus (M\cup N)\subset (X\setminus M)\cap (X\setminus N)$. Das heisst du wählst ein $q\in X\setminus (M\cup N)$ und zeigst dass $q\in (X\setminus M)\cap (X\setminus N)$ liegt.
Dann zeigst du dass $(X\setminus M)\cap (X\setminus N)\subset X\setminus (M\cup N)$. Das heisst du wählst ein $p\in (X\setminus M)\cap (X\setminus N)$ und zeigst dass $q\in  X\setminus (M\cup N)$ liegt.

Hinweis 
Die Gleichung die du in Aufgabe 1 beweist heisst De Morgansche Regel und wird meistens auch so formuliert $(M\cup N)^c=M^c\cap N^c$ wobei $M^c:=X\setminus M$. Das ist eine ziemlich nützliche Regel die du immer wieder mal gebrauchen kannst. Gleicherweise gilt auch $(M\cap N)^c=M^c\cup N^c$.

Ich hoffe das hilft.