Matchbox Wahrscheinlichkeit

Aufrufe: 54     Aktiv: 02.07.2021 um 11:02

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Hallo zusammen,

Folgende Frage:

A pipe-smoking mathematician has a matchbox in each pocket of his jacket, one on the
right side and one on the left. Both boxes contain m matches initially. Every time he lights his pipe,
he picks a matchbox at random, and throws away the used match. After a while he notices that the
matchbox he has picked is empty. What then is the distribution of the number of matches in the other
box? (Hint: you may find it helpful to first consider the special cases where the other box has m matches
and zero matches.)

Nun weiss ich nicht, was ich mit dem Hinweis machen soll. Muss ich beide Seiten betrachten? Also das Ziel ist doch die Verteilung herauszufinden? 

X right side = 0 matches
X right side = M matches

Y left side = 0
Y left side = M


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Moin,

Prinzipiell musst du beide Seiten betrachten ja - da beide Seiten jedoch äquivalent sind, reicht die Betrachtung einer Seite zunächst, und diese kannst du ja dann einfach verdoppeln.

Ich würde mit folgendem Ansatz anfangen:

Denk dir ein Baumdiagramm.

Du hast zwei Möglichkeiten - Links und Rechts.
Beide sind ja selbstverständlich gleichwahrscheinlich, weil er zufällig eine auswählt, also haben beide 50% (=0,5) Wahrscheinlichkeit.
Dann gehen wir das erste und quasi frühest eintretenste Szenario ab, in der eine der beiden leer ist. Das ist quasi dann, wenn du m-mal (also für die Anzahl in einem Pocket) denselben genommen hast.
Da beide die Wahrscheinlichkeit 0,5 haben wäre das in diesem Fall 0,5^m - ist ja quasi einfach den Baumpfad bis zum Ende durchgegangen.

Das ist auch der erste Schritt aus dem Tipp gewesen. Nun kannst du dir überlegen, in welchem nächsten Szenario ist die erste auch leer? Genau - angenommen du ziehst "beim ersten Mal" aus dem einen, und dann nurnoch aus dem "anderen" bis das andere leer ist. Hier hast du dann m+1 Züge (weil du ja eine mit m Zügen komplett leerst + den einen Zug aus dem anderen Pocket).
Dieser Zug aus dem einen Pocket muss ja nicht zwangsläufig der erste Zug sein, könnte auch der vorletzte sein.
Damit ergeben sich dann quasi noch ein Haufen mehr möglichkeiten.

Soweit mein ansatz. Und so gehst du weiter vor, welche Szenarien bis einer von beiden leer sind, gibt es überhaupt?

 

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten sollte denkbar einfach sein - denn egal wie oft du aus einer der Pockets ziehst, es bleibt immer die 50 zu 50 Wahrscheinlichkeit bei jedem Ziehen, egal wie voll die beiden sind, weil er zufällig nach links oder rechts greift.

 

Hoffe das reicht dir als Ansatz, ist ohne Skizze etwas schwierig :D

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