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Moin,
du sollst das Integral \(\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot d(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan{x})\) berechnen. Also zunächst F(x) differenzieren. Dann erhältst du \(\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}dx\). Am Ende erhälts du dann ein Ergebnis (deins ist richtig).
Wichtig ist: \(\infty -\infty \neq0\), sowas darf man sich auf keinen Fall angewöhnen. Falls etwas in der Art rauskommt, existiert das Integral nicht. Was man allerdings machen kann, z.B. bei \(\int_{-\infty}^{\infty}xdx\), was ja auch nicht existiert, ist, dass man den Cauchyschen Hauptwert bildet. Der wäre dann tatsächlich 0.
LG
du sollst das Integral \(\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot d(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan{x})\) berechnen. Also zunächst F(x) differenzieren. Dann erhältst du \(\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}dx\). Am Ende erhälts du dann ein Ergebnis (deins ist richtig).
Wichtig ist: \(\infty -\infty \neq0\), sowas darf man sich auf keinen Fall angewöhnen. Falls etwas in der Art rauskommt, existiert das Integral nicht. Was man allerdings machen kann, z.B. bei \(\int_{-\infty}^{\infty}xdx\), was ja auch nicht existiert, ist, dass man den Cauchyschen Hauptwert bildet. Der wäre dann tatsächlich 0.
LG
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fix
Student, Punkte: 3.82K
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Was genau ist der Cauchysche Hauptwert, sowas hatten wir nämlich noch gar nicht im Studium.
─
huhu123
07.06.2022 um 20:23
Könnte ich das Integral auch aufspalten mit -∞ bis 0 und dann 0 bis ∞ ?
─
huhu123
07.06.2022 um 21:41
könntest du machen, würde aber nichts ändern
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fix
08.06.2022 um 11:45
Ich habe folgendes gemacht, wobei tatsächlich 0 herausgekommen ist (siehe oben Foto).
Der Ausdruck im Limes kürzt sich weg, sodass am Ende der lim von 0 bleibt, was 0 ist. Würde das gehen?
─ huhu123 08.06.2022 um 13:48
Der Ausdruck im Limes kürzt sich weg, sodass am Ende der lim von 0 bleibt, was 0 ist. Würde das gehen?
─ huhu123 08.06.2022 um 13:48
Du darfst nicht \(a\) und \(-a\) gleichzeitig gegen unendlich laufen lassen. Deine Idee mit aufteilen war gut, mache einmal Integral 0 bis a und -a bis 0 und lassen in beiden Integrale, dann getrennt gegen unendlich laufen
─
mathejean
08.06.2022 um 14:42
Stimmt, ich habe nur die Antwort gelesen. Aber nochmal @huhu123 ganz wichtig: \(\int_{\infty}^\infty \cdots \not = \lim_{a\to \infty} \int_{-a}^a\cdots\), also ist zumindest dein letzter Satz falsch, weil wir das uneigentliche Integral nicht untersucht haben
─
mathejean
08.06.2022 um 15:16
Bis auf den letzten Satz, ist meine Rechnung richtig?
─
huhu123
08.06.2022 um 15:39
stimmt, das hab ich falsch geschrieben, mit \(-\infty\) und \(\infty\) würde das Integral ja auch nicht existieren
─
fix
08.06.2022 um 15:46
@huhu123 ja, es kommt 0 raus, die Rechnung stimmt bis auf kleine Notationsfehler: einmal fehlt ein dx, du darfst den lim nicht mit in die Klammer ziehen, und du solltest genauer ausführen, wieso jetzt 0 rauskommt
─
fix
08.06.2022 um 15:51
Vielen Dank an jeden Einzelnen für die Hilfe!
─
huhu123
08.06.2022 um 15:52