Der Unterschied zwischen "Beweis" und "präzise Erklärung in Worten, warum die Aussage zutrifft" ist manchmal schwer in den Griff zubekommen: Idealerweise ist ein Beweis ja so gestaltet, dass er nicht nur das "dass" sicherstellt, sondern auch ein Gefühl für das "warum" entstehen lässt. Leider gelingt das nicht immer.

Speziell zu Zeilenrang = Spaltenrang von Matrizen: Eine mögliche Erklärung liegt darin, dass sowohl Zeilen- als auch Spaltenrang bei elementaren Zeilen- UND Spaltenumformungen unverändert bleiben.[*] Da man jede Matrix mit solchen Umformungen auf eine Gestalt bringen kann, bei der Zeilenrang = Spaltenrang "offensichtlich" stimmt (z.B. wenn sie nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat), ist man damit fertig.

[*] Das muss man natürlich eigentlich beweisen. Am einfachsten scheint mir zu sein, die folgenden beiden Zutaten zu verwenden:
i) Der Spaltenrang ist die Dimension des Bildes der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung.
ii) Zeilen- bzw. Spaltenumformungen wirken durch Multiplikation der Matrix mit invertierbaren Matrizen von links bzw. rechts.

Diese beiden Aussagen zusammen führen zu:
iii) Weder Zeilen- noch Spaltenumformungen ändern den Spaltenrang einer Matrix.

Die letzte Zutat ist dann noch:
iv) Die Aussage iii) gilt genauso auch für den Zeilenrang (denn man kann statt ihm einfach den Spaltenrang der transponierten Matrix nehmen).