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Die endliche geometrische Reihe lautet ja: \(\displaystyle 1+z+\ldots+z^{n-1} \;=\; \frac{1-z^n}{1-z}\).
Nun setze man hier \(z=\frac{x}{y}\) ein und multiplizert das dann mit \(y^n\). Nach ein paar weiteren Umformungen steht dann da:
\(x^n-y^n\;=\;(x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \ldots + y^{n-1})\;\;\;\;\;\; (1)\).
Der Fall y=0 muss natürlich gesondert betrachtet werden - der aber ist trivial.
In Gl. (1) y=1 und \(x=\sqrt[n]n\) eingesetzt liefert:
\(n-1\;=\;(\sqrt[n]n-1) \underbrace{\left((\sqrt[n]n)^{n-1} +(\sqrt[n]n)^{n-2}+ (\sqrt[n]n)^{n-3} + \ldots + 1\right)}_{A}= (\sqrt[n]n-1) A \;\;\;\;\;\; (2)\).
A besteht n Summanden. Von denen sind die ersten (n-1)/2 Summanden größer oder gleich \(\sqrt{n}\).
Also gilt \(A\ge(n-1)\sqrt{n}/2\).
Zusammen mit (2) folgt nach einigem Rechnen: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]n = 1\).
Den Beweis in Video 102 finde ich eleganter.
Nun setze man hier \(z=\frac{x}{y}\) ein und multiplizert das dann mit \(y^n\). Nach ein paar weiteren Umformungen steht dann da:
\(x^n-y^n\;=\;(x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \ldots + y^{n-1})\;\;\;\;\;\; (1)\).
Der Fall y=0 muss natürlich gesondert betrachtet werden - der aber ist trivial.
In Gl. (1) y=1 und \(x=\sqrt[n]n\) eingesetzt liefert:
\(n-1\;=\;(\sqrt[n]n-1) \underbrace{\left((\sqrt[n]n)^{n-1} +(\sqrt[n]n)^{n-2}+ (\sqrt[n]n)^{n-3} + \ldots + 1\right)}_{A}= (\sqrt[n]n-1) A \;\;\;\;\;\; (2)\).
A besteht n Summanden. Von denen sind die ersten (n-1)/2 Summanden größer oder gleich \(\sqrt{n}\).
Also gilt \(A\ge(n-1)\sqrt{n}/2\).
Zusammen mit (2) folgt nach einigem Rechnen: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]n = 1\).
Den Beweis in Video 102 finde ich eleganter.
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m.simon.539
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Steht da wirklich, du sollst es damit beweisen oder ist das nur ein Hinweis/Tipp?
─
cauchy
17.11.2023 um 13:15
Aufgabentext:
"Beweisen Sie, dass die Folge gegeben durch an=n-te Wurzel aus n gegen 1 konvergiert. Zeigen Sie hierfür zunächst folgende Gleichung:
(x^n-y^n)=[...]
Tipp: Nutzen Sie zum Zeigen der Gleichung die Formel für die endliche geometrische Reihe." ─ userd879f5 17.11.2023 um 13:43
"Beweisen Sie, dass die Folge gegeben durch an=n-te Wurzel aus n gegen 1 konvergiert. Zeigen Sie hierfür zunächst folgende Gleichung:
(x^n-y^n)=[...]
Tipp: Nutzen Sie zum Zeigen der Gleichung die Formel für die endliche geometrische Reihe." ─ userd879f5 17.11.2023 um 13:43
Den allerletzten Schritt verstehe ich noch nicht. Also wie forme ich das mit (2) dann zu lim an-> 1 um?
─
userd879f5
17.11.2023 um 18:00
Die Formel für die geometrische Reihe gilt nicht für z=1. Den Spezialfall "x=y" muss man leider gesondert betrachten.
Für n=1 gilt sie aber schon, da steht auf der rechten wie auf der linken Seite 1:
Linke Seite = \(1+…+z^{n−1}=z^0+…+z^0=z^0=1\) = Rechte Seite.
Ich denke, Du must schon beweisen, dass die Anzahl der Summanden in A, welche \(\ge\sqrt{n}\) sind, mind. (n-1)/2 beträgt.
Das sollte aber nicht so schwierig sein. Im besagten Video 102 findet sich ein Beweis dafür, dass \(\sqrt[n]{n} \ge 1\).
Daraus folgt: Je größer k, desto größer ist \((\sqrt[n]{n})^k\).
Dann hat man
\((\sqrt[n]{n})^k\ge\sqrt{n}
\;\Leftrightarrow\;(\sqrt[n]{n})^{2k}\ge n = (\sqrt[n]{n})^n
\;\Leftrightarrow\;2k\ge n.\)
Jetzt muss man sich nur noch überlegen, wieviele Exponenten k es in A gibt mit \(2k \ge n\). ─ m.simon.539 17.11.2023 um 23:54
Für n=1 gilt sie aber schon, da steht auf der rechten wie auf der linken Seite 1:
Linke Seite = \(1+…+z^{n−1}=z^0+…+z^0=z^0=1\) = Rechte Seite.
Ich denke, Du must schon beweisen, dass die Anzahl der Summanden in A, welche \(\ge\sqrt{n}\) sind, mind. (n-1)/2 beträgt.
Das sollte aber nicht so schwierig sein. Im besagten Video 102 findet sich ein Beweis dafür, dass \(\sqrt[n]{n} \ge 1\).
Daraus folgt: Je größer k, desto größer ist \((\sqrt[n]{n})^k\).
Dann hat man
\((\sqrt[n]{n})^k\ge\sqrt{n}
\;\Leftrightarrow\;(\sqrt[n]{n})^{2k}\ge n = (\sqrt[n]{n})^n
\;\Leftrightarrow\;2k\ge n.\)
Jetzt muss man sich nur noch überlegen, wieviele Exponenten k es in A gibt mit \(2k \ge n\). ─ m.simon.539 17.11.2023 um 23:54
Okay vielen Dank. Nur verstehe ich immer noch nicht ganz, wie ich dann auf den Limes von an =1 komme. Ich stehe gerade echt auf dem Schlauch.
─
userd879f5
18.11.2023 um 00:43
Ok, also: Die Anzahl der Summanden von A, die \(\ge \sqrt{n}\) sind, ist mindestens (n-1)/2.
Also gilt: \(A \ge \sqrt{n} (n-1)/2\).
Das in Gl. (2) von meiner Antwort eingesetzt liefert:
\(n-1 \ge (\sqrt[n]n -1) \sqrt{n} (n-1)/2 \)
Für n>1 folgt daraus:
\(1 \ge (\sqrt[n]n -1) \sqrt{n}/2 \; \;\Rightarrow\;\; \sqrt[n]n -1 \le 2/\sqrt{n} \;\;\;\stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow\;\;\; 0\)
Daraus folgt: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]n =1\).
─ m.simon.539 18.11.2023 um 13:41
Also gilt: \(A \ge \sqrt{n} (n-1)/2\).
Das in Gl. (2) von meiner Antwort eingesetzt liefert:
\(n-1 \ge (\sqrt[n]n -1) \sqrt{n} (n-1)/2 \)
Für n>1 folgt daraus:
\(1 \ge (\sqrt[n]n -1) \sqrt{n}/2 \; \;\Rightarrow\;\; \sqrt[n]n -1 \le 2/\sqrt{n} \;\;\;\stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow\;\;\; 0\)
Daraus folgt: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]n =1\).
─ m.simon.539 18.11.2023 um 13:41
Vielen Dank!!!
─
userd879f5
18.11.2023 um 21:11
Muss ich noch beweisen, dass die ersten (n-1)/2 Summanden von A größer/gleich
sqrt(n) sind, oder reicht das schon so?
─ userd879f5 17.11.2023 um 08:50