Frage zur n-ten Wurzel aus n.

Erste Frage Aufrufe: 247     Aktiv: 18.11.2023 um 21:11
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In Video Analysis 102 wurde ja bewiesen, dass die Folge n-te Wurzel aus n gegen 1 konvergiert. Ich habe nun eine Aufgabe, in der ich genau das beweisen soll, nur dass ich zunächst folgende Gleichung mit Hilfe der endlichen geometrischen Reihe beweisen soll:
(x^n − y^n) = (x − y)(x^(n−1) + x^(n−2)y + x^(n−3)y^2 + · · · + y(n−1)).
Nun meine Fragen:
1. Ich verstehe, dass die einzelnen Terme der rechten Seite, wenn ich sie ausmultipliziere gegenseitig auslöschen bis auf x^n-y^n, wie beweise ich jedoch, dass das für alle Terme gilt und inwiefern hilft mir dabei die endliche geometrische Reihe (ich weiß, dass sich bei dieser die Terme ebenfalls auslöschen, jedoch ist das doch für die Aufgabe irrelevant).
2. Was bringt mir das für den Beweis von n-te Wurzel von n konvergiert gegen 1?
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1 Antwort
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Die endliche geometrische Reihe lautet ja: \(\displaystyle 1+z+\ldots+z^{n-1} \;=\; \frac{1-z^n}{1-z}\).
Nun setze man hier \(z=\frac{x}{y}\) ein und multiplizert das dann mit \(y^n\). Nach ein paar weiteren Umformungen steht dann da:
\(x^n-y^n\;=\;(x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \ldots + y^{n-1})\;\;\;\;\;\; (1)\).
Der Fall y=0 muss natürlich gesondert betrachtet werden - der aber ist trivial.

In Gl. (1) y=1 und \(x=\sqrt[n]n\) eingesetzt liefert:
\(n-1\;=\;(\sqrt[n]n-1) \underbrace{\left((\sqrt[n]n)^{n-1} +(\sqrt[n]n)^{n-2}+ (\sqrt[n]n)^{n-3} + \ldots + 1\right)}_{A}= (\sqrt[n]n-1) A \;\;\;\;\;\; (2)\).

A besteht n Summanden. Von denen sind die ersten (n-1)/2 Summanden größer oder gleich \(\sqrt{n}\).
Also gilt \(A\ge(n-1)\sqrt{n}/2\).
Zusammen mit (2) folgt nach einigem Rechnen: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]n = 1\).

Den Beweis in Video 102 finde ich eleganter.



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Danke für deine Antwort erstmal, ich finde den Beweis im Video auch deutlich eleganter, jedoch muss ich die Aufgabe ja trotzdem wie sie gestellt wurde bearbeiten.
Muss ich noch beweisen, dass die ersten (n-1)/2 Summanden von A größer/gleich
sqrt(n) sind, oder reicht das schon so?
   ─   userd879f5 17.11.2023 um 08:50
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Steht da wirklich, du sollst es damit beweisen oder ist das nur ein Hinweis/Tipp?   ─   cauchy 17.11.2023 um 13:15
Aufgabentext:
"Beweisen Sie, dass die Folge gegeben durch an=n-te Wurzel aus n gegen 1 konvergiert. Zeigen Sie hierfür zunächst folgende Gleichung:
(x^n-y^n)=[...]
Tipp: Nutzen Sie zum Zeigen der Gleichung die Formel für die endliche geometrische Reihe."   ─   userd879f5 17.11.2023 um 13:43
Den allerletzten Schritt verstehe ich noch nicht. Also wie forme ich das mit (2) dann zu lim an-> 1 um?   ─   userd879f5 17.11.2023 um 18:00
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Die Formel für die geometrische Reihe gilt nicht für z=1. Den Spezialfall "x=y" muss man leider gesondert betrachten.
Für n=1 gilt sie aber schon, da steht auf der rechten wie auf der linken Seite 1:
Linke Seite = \(1+…+z^{n−1}=z^0+…+z^0=z^0=1\) = Rechte Seite.

Ich denke, Du must schon beweisen, dass die Anzahl der Summanden in A, welche \(\ge\sqrt{n}\) sind, mind. (n-1)/2 beträgt.
Das sollte aber nicht so schwierig sein. Im besagten Video 102 findet sich ein Beweis dafür, dass \(\sqrt[n]{n} \ge 1\).
Daraus folgt: Je größer k, desto größer ist \((\sqrt[n]{n})^k\).
Dann hat man
\((\sqrt[n]{n})^k\ge\sqrt{n}
\;\Leftrightarrow\;(\sqrt[n]{n})^{2k}\ge n = (\sqrt[n]{n})^n
\;\Leftrightarrow\;2k\ge n.\)
Jetzt muss man sich nur noch überlegen, wieviele Exponenten k es in A gibt mit \(2k \ge n\).   ─   m.simon.539 17.11.2023 um 23:54
Okay vielen Dank. Nur verstehe ich immer noch nicht ganz, wie ich dann auf den Limes von an =1 komme. Ich stehe gerade echt auf dem Schlauch.   ─   userd879f5 18.11.2023 um 00:43
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Ok, also: Die Anzahl der Summanden von A, die \(\ge \sqrt{n}\) sind, ist mindestens (n-1)/2.
Also gilt: \(A \ge \sqrt{n} (n-1)/2\).
Das in Gl. (2) von meiner Antwort eingesetzt liefert:
\(n-1 \ge (\sqrt[n]n -1) \sqrt{n} (n-1)/2 \)
Für n>1 folgt daraus:
\(1 \ge (\sqrt[n]n -1) \sqrt{n}/2 \; \;\Rightarrow\;\; \sqrt[n]n -1 \le 2/\sqrt{n} \;\;\;\stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow\;\;\; 0\)
Daraus folgt: \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]n =1\).
   ─   m.simon.539 18.11.2023 um 13:41
Vielen Dank!!!   ─   userd879f5 18.11.2023 um 21:11

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