Lineare Abbildung in Abhängigkeit bestimmen

Aufrufe: 36     Aktiv: 02.06.2021 um 00:52

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Oh man, das ist schon, meine dritte Frage heute, Mathe kann wohlmal sehr anstrengent sein ^^

Könnte mir Jemand bei dieser Aufgabe Helfen, ich habe leider wiedermal keinen Anhaltspunkt wie ich diese Aufgabe überhaupt angehen, geschweige denn lösen soll. 

MfG 

Hendrik
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Ich sag direkt zu Beginn, dass ich kein Profi im Thema Vektorräumen bin, aber ich probiere es mal.

Im Grunde benötigst du ja eine Matrix \(X\in \mathbb{R}^{3x3}\), welche dir \(W = X \cdot V\) liefert, wobei \(W\) die drei Vektoren von \(w_i\) nebeneinander beschreibt und \(V\) die von \(v_i\)

Da die Matrizen alle \(3\times 3 \) Matrizen sind, sind diese symmetrisch. Es folgen also die Gleichnisse:

\(W=XV\)
\(X = WV^{-1}\)

Das Invers von \(V\) lässt sich auch bestimmen, da die Matrix symmetrisch ist.

Jetzt musst du nur noch \(X\) durch Matrixmultiplikation bestimmen und du solltest deine lineare Abbildung gefunden haben.

Ich hoffe ich konnte mit dem Denkanstoss helfen
Grüße Cedric


SPOILER - LÖSUNG:

Die Matrix von \(W\):
\(1 \qquad \ \ \ 1 \ \ \qquad 1\)
\(1 \qquad \ \ \ 2 \ \ \qquad 1\)
\(0 \qquad -2 \qquad 1\)


Die Matrix von \(V\):
\(0 \qquad 2 \qquad a\)
\(1 \qquad 1 \qquad 1\)
\(0 \qquad a \qquad 2\)


Die Matrix von \(V^{-1}\):
\(-\frac{1}{a+2}         \            \qquad 1        \            \qquad -\frac{1}{a+2}\)
\(-\frac{2}{a^2-4}                   \qquad 0         \ \ \ \ \            \qquad \frac{a}{a^2-4}\)
\(\ \ \ \frac{a}{a^2-4}              \qquad 0                     \qquad -\frac{2}{a^2-4}\)


Die Matrix von \(X\):
\(\quad  \ \ 0         \  \          \qquad 1        \       \quad \ \      \qquad 0\)
\(-\frac{1}{a-2}                   \qquad 0         \ \ \ \ \            \qquad \frac{1}{a-2}\)
\(\ \ \ \frac{2}{a-2}              \qquad 0                     \qquad -\frac{2}{a-2}\)

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