Kompaktheit von denn Reelen Zahlen mit der Koabzählbaren Topologie

Aufrufe: 466     Aktiv: 24.04.2021 um 12:17
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Ich soll zeigen oder wiederlegen das der Topologische Raum (R,O_coc) wobei O_coc die koabzählbare Topologie ist Kompakt ist.
meine Vermutung ist das der Raum nicht kompakt ist ,da er unendlich viele Elemente hat und ich glaube das es keine endliche teilüberdeckung gibt jedoch weiß ich nicht wie ich das zeigen kann kann mir jemand helfen ?
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Betrachte die Mengen \(O_k=\mathbb R\setminus 2^k\mathbb N\). Sind diese offen? Gilt \(\mathbb R=\bigcup_{k\in\mathbb N}O_k\)? Erlaubt diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung?
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Diese mengen sind offen wenn sie in der Topologie liegen oder ? würde eigentlich sagen das die nicht offen sind weil ich glaube das R\2^k*N nicht abzählbar ist da man dann ja immer noch die ganzen irrationalen zahlen in diesen mengen hat die ja eigentlich erst dafür sorgen das R nicht abzählbar ist
   ─   henry_99 24.04.2021 um 11:15
Aber die Topologie ist ja die koabzählbare, d.h. eine Menge ist offen, wenn ihr Komplement abzählbar ist. Und \(\mathbb R\setminus O_k=2^k\mathbb N\subseteq\mathbb N\) ist sicher abzählbar. Also sind die Mengen alle offen.   ─   stal 24.04.2021 um 12:17

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