Alle komplexen Lösungen bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 58     Aktiv: vor 6 Tagen, 3 Stunden

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Moin,
ich sitze hier an einer Aufgabe bei welcher ich alle komplexen Lösungen bestimmen soll.
Die Gleichung ist: (z^6) - 2(z^3) + 1 = 0.
Ich weiß wie man zB z^4 = x + yi löst, aber da komme ich nicht weiter
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2 Antworten
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Dann stell die Gleichung doch erstmal um und vereinfache sie. Dann solltest du sie lösen können.
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Selbstständig, Punkte: 10.92K

 

Das ist ja das Problem, ich habe keine Ahnung was ich da vereinfachen kann. Oder soll ich für z = x + yi einsetzen ?
  ─   user5ca9b9 vor 6 Tagen, 6 Stunden

Die $z^3$ zusammenfassen?   ─   cauchy vor 6 Tagen, 6 Stunden

Ach tut mir leid, ich sehe gerade ich habe mich vertan bei der formel, habe es korrigiert, die ersten z^3 sollten z^6 sein   ─   user5ca9b9 vor 6 Tagen, 6 Stunden

Dann mach eine Substitution $z^3=\omega$. Dann erhältst du eine quadratische Gleichung.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 5 Stunden

Jap habe ich gerade auch gerafft, bin gerade dabei, danke sehr:)   ─   user5ca9b9 vor 6 Tagen, 5 Stunden

Wobei, ich sehe gerade, das gibt dann nur die reelle Lösung. Man kann aber auch die zweite binomische Formel rückwärts wenden. Das liefert dann die 3. Einheitswurzeln.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 5 Stunden

Also ich habe jetzt das mit Subtitution gemacht und dann r und phi ausgerechnet. Problem ist, das phi = 0 ist und z^3 = 1*e^i*0. Ist dann die Lösung nicht immer 1?

  ─   user5ca9b9 vor 6 Tagen, 5 Stunden

Ja, wie ich schon sagte, bekommt man mit der Substition nur die reelle Lösung heraus. Der Umweg für die Polardarstellung ist da auch völlig unnötig. Daher dann der Tipp mit der binomischen Formel.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 5 Stunden

Also ich habe jetzt raus z0 = e^0*i, z1 = e^(2/3)pi * i und z3 = e^(4/3)pi * i und halt für w1/2 gibt es nur eine Lösung und zwar 1. Habe ich damit alles in der Aufgabe gemacht ?   ─   user5ca9b9 vor 6 Tagen, 4 Stunden

Ja, sind wie gesagt die dritten Einheitswurzeln.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 4 Stunden

Puh okay danke, das mit der 3.Einheitswurzel sagt mir ehrlich gesagt leider nichts, deshalb habe ich es so gemacht. Aber solange es richtig ist passt es ja. Nochmal vielen Dank !   ─   user5ca9b9 vor 6 Tagen, 4 Stunden

Einheitswurzeln sind einfach $z^n=1$.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 3 Stunden

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\(w^3=1=e^0=e^{2k\pi i}\Rightarrow w=e^{\frac{2}{3}k\pi i}=cos(\frac{2}{3}k\pi)+isin(\frac{2}{3}k\pi)\)
jetzt nur noch \(k=0,1,2,...\) einsetzen
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.17K

 

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