Gleichungssysteme lösen

Aufrufe: 87     Aktiv: 13.03.2021 um 19:36

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Ich habe folgendes Problem: gegeben ist die folgende Gleichung 3x + 4y = 8 (eine inhomogene Gleichung mit 2 Unbekannten). Nach Anwenden eben dieses müsste man die inhomogene Lösung finden (da wenn x und y = 0, die Lösung != 0, und daher inhomogen ist). Wenn man es funktional betrachtet, kann beim Usprung der x-Wert nur 0 sein, also muss der y Wert != 0 sein, der "Ortsvektor" ist also (0 | 2) + ..... Steigung der homogenen Lösung, diese kann man entweder Funktional ausrechnen (indem man y auf eine Seite setzt) oder für x,y eine Lösungspaar sucht, z.B. (4 | - 3), also ist die Lösungsmenge = L = {(0 | 2) + (4 | -3) * c}
<= Logisch

1. Unklarheit
Was wäre, wenn stünde 3a + 4b = 8 (ich weiß, dass ein Koeffizient gleich 0 sein muss (der "quasi" x-Koeffizient), es ist aber nicht klar, welcher, theoretisch könnte ich auch sagen die Lösung (inhomogene) wäre (8/3 | 0), also wäre die Lösungsmenge := {(8/3 | 0) + (4 | -3)*c}

Das Problem ist dann weiterführend bei z.B. I: 2a + 3b = 11, 3a + b= 6 zu betrachten, das ja dann mit verschiedenen Verfahren gelöst wird (Einsetzungs, Gleichsetzungs, Eliminationsverfahren), versucht man es nach dem Schema 1 zu lösen (finde die inhomogene Lösung) + verschiebe um die homogene Lösung, ist es quasi nicht möglich.

Kann man dieses homogene/inhomogene Lösungsschema nur anwenden, wenn die Parameter x,y sind und man dann davon ausgehen kann, dass es sich um x bzw. y Werte handelt?

Vielen Dank :)
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1 Antwort
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Es ist doch völlig egal, ob die Variablen x,y oder a,b heißen. Das ist Mathematik, da kommt es auf die Struktur an, nicht auf die Namen. Die Gleichung 3Äpfel+4 Birnen = 8 Obst würde genauso gerechnet.
Und =0 muss hier gar nichts sein. Man kann es so machen, aber andere Zahlen gehen auch.
Bei einer Gleichung mit zwei Unbekannten ist die Lösungsmenge eine Gerade. In Deinem ersten Beispiel könnte man die Lösung auch schreiben als: L = (2,0.5)+c(4,-3).
Die Methode hom/inhom. geht immer (übrigens auch bei Differentialgleichungen). Geht auch bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wenn das LGS dann eindeutig lösbar ist, ist eben die einzige Lösung des hom. Systems (0,0).
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Vielen Dank schon mal :)

Ja wenn man z.B. stehen hat 2a + 3b = 11 (da bin ich gerade beim Buch), wird prinzipiell davon ausgegangen, dass b y semantisch repräsentiert
Ich verstehe es dahingehend nicht
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Fall 1: Ich gehe davon aus a = x, b = y
1. Finden der inhomogenen Lösung:
L = {(0|(11/3)) + homogen }
1. Finden einer homogenen Lösung
z.B. (3 | -2)
Also L = {(0 | (11 /3)) + (3 | -2) * c} <=> Funktional f(x) := (11/3) - (2/3)*x

Fall 2: Ich gehe davon aus a = y, b = x
1.Finden der inhomogenen
2a+3b = 11
L = {(11/2)|0) + homogen}

2. Finden der homogenen
z.B. (3 | -2) (weil a = y)
Also L = {(0 | (11 /2)) + (3 | -2) * c} <=> Funktional g(x) := (11/2) - (3/2)*x

g(x) != f(x) -> das Buch, wo ich mir gerade die Grundlagen erlerne, geht einfach davon aus, dass a = x, und b = y (ich muss ja wissen, welche Variable semantisch für welche funktionelle Variable steht, sonst kann ich es funktional nicht darstellen)
2a + 3b = 0 (a = x, b = y) = 3y = 2a => y = 2/3*x
2a +3b = 0 (a =y, b =x ) = 2y = 3b => y = 3/2*x
Oder versteh ich da etwas komplett falsch :/

Aber prinzipiell ists ja egal ob 3a + 4b = 12 ob a = Birnen oder b = Äpfel oder umgekehrt, aber funktionell meines Verständnisses nach nicht
  ─   sven03 13.03.2021 um 16:43

Es müsste folglich konventionell so sein, dass x = a, y = b, z = c ist ?   ─   sven03 13.03.2021 um 17:16

Zu letzterem: ich würde es nicht c nennen, weil es sonst klingt, als wäre es ähnlich wie a,b. Es hat aber eine ganz andere Bedeutung, daher nimmt man in der Vektorrechnung z.B. \(\lambda\). Und die Lösungsmenge müsste ganz korrekt lauten (für die erste Variante): \(L=\{ (0,11/3)+\lambda (3,-2) | \lambda \in R\}\).
Ich finde es sehr sehr gut, dass Du Dir das so genau anschaust. Deine Bedenken und Überlegungen sind auch angebracht und sinnvoll.
Schon bei der Angabe von L muss man, um L richtig zu interpretieren, wissen, ob die erste der beiden Komponenten für a oder b steht. Üblich ist die Reihenfolge wie im Alphabet, also erst a, dann b (erst x, dann y).
Und funktionale Zusammenhänge gibt es nicht nur mit x und y. Im 1. Fall kannst Du also schreiben: \(b=f(a)=\frac{11}3-\frac23 a\). Das wäre völlig korrekt und es vermeidet die Buchstaben x und y komplett (beachte aber obige Bem. zur Lösungsmenge). Man kann dann diese Funktion prima in ein a-b-Koordinatensystem einzeichnen.
Deine zweite Interpretation (2. Fall) ist genauso berechtigt. Dort könntest Du am Ende schreiben \(a=f(b)=\frac{11}2-\frac32 b\) und es ganz normal in ein b-a-Koordinatensystem zeichnen. Du hast vielleicht schon gemerkt, dass diese zweite Funktion die Umkehrfunktion der ersten ist. Wenn Du diese zweite Funktion in ein a-b-System einträgst, sieht sie aus wie die erste.
Generell ist bei Anwendungen von Math. die Frage wichtig, welcher Zusammenhang interessiert mich denn? Im wirklichen Leben heißen die Variablen sowieso nicht x und y (auch nicht a und b), sondern z.B. in der Physik t und v, oder U und I.
Super, Deine Gedanken. Das bringt Dich einen großen Schritt weiter, weil Du damit den Funktionsbegriff wirklich verstehst. Und dieser Begriff ist einer der wichtigsten in der ganzen Mathematik.
  ─   mikn 13.03.2021 um 18:02

Danke :) Ja, wenn man schon den Uni-Stoff (halbwegs kann), wird einem gewissermaßen die Denkweise des Hinterfragens gelehrt. In der Schule habe ich es ja prinzipiell immer so gemacht: etwas nicht zu 100% verstanden => auswendig lernen. Und das ist der falsche Weg (ich lern jetzt nur die Grundlagen, die mir fehlen, was hoffentlich kein zu großes Problem ist) Ich sehe es irgendwie partout nicht ein das Studium wegen Mathematik nicht zu schaffen, da ich ja trotz allem (und meines Versagens) schon immer eine gewisse Affinität zur Mathematik hergestellt habe (klar, wenn der didaktische Weg in "zumindest" meiner Schule, die sowieso Mathematik, eher auf schwachem Niveau gelehrt hat, der falsche war, wird's schwierig)

Ich bin nur heilfroh, dass die Mathematikbücher momentan alle gratis, zur Verfügung gestellt werden, und dass es Foren wie dieses gibt :)
  ─   sven03 13.03.2021 um 19:23

Schön, genau die richtige Einstellung! Die Bücher sollten aber über die Uni-Ausleihe gratis bleiben. Und Mathe-Skripte gibt es von vielen Unis auch gratis im Netz.   ─   mikn 13.03.2021 um 19:36

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