Unbestimmtes Integral von (11x-13)/(x^2-4x+4)??

Aufrufe: 454     Aktiv: 03.02.2021 um 21:15
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Gehe ich es hier mit einer Substitution oder einer Partialbruchzerlegung an ? 

Bei der PBZ hätte ich zunächst die Nullstellen bestimmt : x1=2 ; x2=2 Setze ich jetzt (x-2)^2als Nenner ein und führe die Linearfaktorzerlegung durch ? 

Bei der Substitution bin ich nicht wirklich weit gekommen mit U= x^2-4x+4...

Wäre sehr denkbar für einen Tipp zum Lösungsweg!

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Partialbruchzerlegung ist sinnlos, wie du richtig erkennst ist der Nenner Faktorisiert \((x-2)^2\), damit würde man mittels einer Partialbruchzerlegung einfach wieder denselben Term erhalten.

Du könntest den Bruch in folgende - recht leicht integrierbare - Summanden aufteilen: \(\frac{11x-13}{x^2-4x+4} = \frac{11(x-2)}{(x-2)^2} + \frac{9}{(x-2)^2} = \frac{11}{x-2} + \frac{9}{(x-2)^2}\)


Kleiner Edit: Vergiss den ersten Absatz, Partialbruchzerlegung geht natürlich auch.

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Danke sehr, so habe ich es gerade eben auch im online Integralrechner gesehen. Dabei frage ich mich nur wie man auf diese Umformung kommt 😅 Vermutlich muss man einfach ausprobieren und mit der Zeit einen Blick für sowas entwickeln ...   ─   benk 25.01.2021 um 20:23

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Moin benk.

Du kannst den Zähler umschreiben zu \(11(2x-4)+9\) und damit kannst du dann den Bruch aufteilen. Im linken Bruch kannst du dann kürzen und den rechten Bruch kannst du einfach durch Substitution von \(u= x-2\) lösen.

 

Grüße

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Danke sehr, ja das ist einleuchtend ! Allerdings hätte ich das selbst nie gesehen :D Vermutlich muss man einfach mal ausprobieren.   ─   benk 25.01.2021 um 20:25
Ja, geeignete Substitutionen sind oft nicht so leicht zu sehen. Du hast recht, da muss man einen Blick für entwickeln :D   ─   1+2=3 25.01.2021 um 20:30
Guten Morgen.
Habe aus Interesse die Partialbruchzerlegung mal zu Ende geführt: Mit dem faktorisierten Nenner (x-2)^2 bin ich dabei auf A=11 und B=9 gekommen, also letztendlich Integral von(11/(x-2))+(9/(x-2)^2)dx. Durch das fehlende x im Zähler konnte ich das Integral nun lösen mit dem Endergebnis: 11*ln(|x-2|)+9*(-1/(x-2)) +c
Das hat mich etwas stutzig gemacht...geht es vielleicht doch auch mit der PBZ ? :D   ─   benk 26.01.2021 um 11:35
Moin.
Ja somit hast du es ja dann in genau in die obige form überführt. PBZ funktioniert natürlich durchaus, aber ist eben sehr viel länger. Mit geübtem Blick kannst du es nämlich direkt in der Form schreiben, auf die du durch PBZ kommst.

   ─   1+2=3 26.01.2021 um 12:15
Ohja stimmt, das ist mir vorhin gar nicht aufgefallen. Gut, ich hatte es nämlich so verstanden, dass es ausschließlich mit Substitution geht, das ist sehr gut zu wissen!   ─   benk 26.01.2021 um 14:53

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