Hallo, ich soll zeigen, dass für die Funktion $f:R \rightarrow R$ mit $f(x)=\frac {1}{1+e^x}$ für alle $x,y \in R$ gilt, dass:
$$ |f(x)-f(y)| \leq  \frac {1}{2}\big|x-y|$$
Jetzt habe ich allerdings irgendwie Probleme beim Abschätzen. Was ich bis jetzt habe:


$$|f(x)-f(y)| = \Big | \frac {1}{1+e^x} - \frac {1}{1+e^y}\Big | = \Big | \frac {e^y-e^x}{(1+e^x)(1+e^y)} \Big | = |e^x-e^y| \cdot \Big | \frac {1}{(1+e^x)(1+e^y)} \Big |$$

Jetzt ist es so, dass $\forall x,y \in R$ gilt: $0 \leq \frac {1}{(1+e^x)(1+e^y)} \leq 1$

Das Problem: Dann würde ich ja
$$|e^x-e^y| \cdot \Big | \frac {1}{(1+e^x)(1+e^y)} \Big | \leq |e^x-e^y|$$
abschätzen und das passt ja irgendwie nicht so recht zu dem wo ich hin will. Sieht vielleicht jemand ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, oder ob man besser abschätzen kann?