Inhomogene DGL 2. Ordnung

Aufrufe: 761     Aktiv: 26.01.2022 um 17:41

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Hallo,kleine Frage:

Folgende DGL ist gegeben

y'' + 6y' + 9y = e^(-3x)

doppelte Nullstelle -3

als homogenen Teil habe ich

yh = c1*e^(-3x) + c2*e^(-3x)
     = (c1 + c2)*e^(-3x)

in den Lösungen steht aber 

yh = (c1 + c2*x)*e^(-3x)

Jetzt die Frage, wenn doch die allg. Form für homogene DGL  yh = c1*e^(lambda1*x) + c2*e^(lambda2*x), wie kommt man dann auf das Ergebnis yh = (c1 + c2*x)*e^(-3x)? Ich verstehe quasi nicht, woher das x bei c2 kommt.

EDIT vom 25.01.2022 um 23:11:

Hallo,kleine Frage:

Folgende DGL ist gegeben

$y'' + 6y' + 9y = e^{-3x}$

doppelte Nullstelle -3

als homogenen Teil habe ich

$\begin{align} y_h = c_1*e^{-3x} + c_:2*e^{-3x}
     = (c_1 + c_2)*e^{-3x} \end{align}$

in den Lösungen steht aber 

$y_h = (c_1 + c_2*x)*e^{-3x}$

Jetzt die Frage, wenn doch die allg. Form für homogene DGL  $y_h = c_1*e^{\lambda_1*x} + c2*e^{\lambda_2*x}$, wie kommt man dann auf das Ergebnis $y_h = (c_1 + c_2*x)*e^{-3x}$  ? 
Ich verstehe quasi nicht, woher das $x$ bei $c_2$ kommt.
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Ein Ansatz $(c_1+c_2)e^{-3x}$ macht jedenfalls keinen Sinn, denn mit $d:=c_1+c_2$ hat man dann real doch nur eine linear unabhängige Funktion als Lösung.
Durch Einsetzen sieht man aber, dass $xe^{-3x}$ auch eine Lösung ist (wg der doppelten Nullstelle). Daher wird der 2d-Lösungsraum der hom Dgl aufgespannt von den beiden Basislösungen $y_1(x)=e^{-3x}$ und $y_2(x)=xe^{-3x}$.
Die allg. Lösung mit $\lambda_1, \lambda_2$ gilt nur für den Fall $\lambda_1\neq \lambda_2$. Das steht sicher auch alles in Deinen Unterlagen, hier hab ich's nur kurz zusammengefasst.
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Schön wärs, unser Prof lässt uns ganz schön im Stich was Unterlagen angeht.. Trotzdem danke für Ihre Hilfe, hat mir geholfen und macht jetzt auch Sinn.   ─   gzuzvonnazareth 25.01.2022 um 23:18

@cauchy Wir lernen vom Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2. Klar, das kann man auch als "Skript" sehen, nur ist das halt eine PDF-Datei, deren Inhalt zu 99% für uns irrelevant ist. In allen anderen Modulen haben Skripte und die sind auch eindeutig linearer und man wird nicht mit dem für die Klausur irrelevantem Stoff vollgepumpt.   ─   gzuzvonnazareth 25.01.2022 um 23:46

Bei der partikulären Lösung begegnest du dann einer ähnlichen Situation.   ─   scotchwhisky 26.01.2022 um 17:41

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