Ringhomomorphismus zeigen

Aufrufe: 980     Aktiv: 18.01.2021 um 17:54
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Hallo,

ich sitze grade an dieser Aufgabe:

Ich bin mir unsicher, was ich alles zeigen muss. Ein Ringisomorphismus ist ja ein bijektiver Homomorphismus. Also im Grunde ein bijektiver Homomorphismus über zwei Verknüpfungen.  Also ich hatte Folgendes im Sinn:

1.) f(a*b)= f(a) ° f(b), also einmal zwischen \(\triangle\) ,+ und einmal angewendet auf,\(\bigcap\) und \(\bullet\).

2.) f(e) = e (mit e als neutralem Element)

3.) Die Abbildung ist injektiv (wie zeigt man das am Besten, mit dem Kern?)

4.) Die Abbildung ist surjektiv? (wie zeigt man das am Besten, mit der allg. Definition von surjektiv?)

 

Danke im Voraus!

LG

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1.: yep

2.: folgt aus 1, brauchst du also nicht.

3.: Ich würde die Definition hernehmen, also zeigen f(x) = f(y) -> x = y.

4.: Auch hier die Definition. Für jedes Bild y ein Urbild x finden, so dass f(x) = y.

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Alles klar, vielen Dank!   ─   physikstudent(1.s) 17.01.2021 um 13:32
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Wenn eure Ringe mit Einselement definiert wurden, dann fordert man bei einem Ringisomorphismus für gewöhnlich noch \( f(1)=1 \). Das müsste dann auch noch nachgewiesen werden.   ─   42 17.01.2021 um 14:01
ah okay, ich wusste doch da war noch was. Danke.
Kannst du mir vielleicht einen Ansatz für meinen ersten Punkt geben, ich komme da nicht ganz weiter, wie zeige ich, dass gilt: f(a\(\triangle\)b) = f(a) + f(b) (mit fetten +) ? Also a \(\triangle\) b ist ja als a\b \(\bigcup\) b\a definiert. Von da weiß ich nicht mehr weiter...
LG   ─   physikstudent(1.s) 17.01.2021 um 15:36
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Du arbeitest hier in einem Funktionenraum. \( f(a \triangle b) \) ist eine Funktion. Setzte also mal einen Wert \( x \in X \) in diese Funktion ein und schaue was rauskommt. Du musst \( f(a \triangle b)(x) = f(a)(x) + f(b)(x) \) für alle \( x \in X \) zeigen.   ─   42 17.01.2021 um 15:42
Also ich habe mal mit den beiden Mengen a = {1,2} und b = {2,3} zur Veranschaulichung gearbeitet. Dann habe ich Folgendes herausbekommen: f(a\(\triangle\)b) = f({1,2}\(\triangle\){2,3}) = f({1,3}).
Es muss also gelten: f({1,2}) = f({1,2}) + f({2,3}). Ich bilde ja auf \(\mathbb{Z_2}\) ab. Also gilt doch:
f({1,3}) = {1,1} = {1,1} = f({1,2}) + f({2,3}). Jetzt muss ich das nur noch verallgemeinern. Stimmt das so?   ─   physikstudent(1.s) 17.01.2021 um 21:29
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Nein, das ergibt keinen Sinn. Was ist denn \( f(a) \)? Guck dir noch mal genau die Definition an.   ─   42 17.01.2021 um 21:47
Hm, ich dachte P(x) ist die Potenzmenge und es gilt a,b \(\in\) P(x). Dann wäre f(a) die Abbildung einer Teilmenge der Potenzmenge auf ein Element c, c \(\in\) \(\mathbb{Z_2}\). Wo ist mein Denkfehler?   ─   physikstudent(1.s) 17.01.2021 um 22:16
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So kann man das nicht sagen. \( f(a) \) ist eine Abbildung von \( X \) nach \( \mathbb{Z}_2 \). Welchen Wert hat \( f(a)(x) \)? Wie wurde das definiert in Satz D3D?   ─   42 17.01.2021 um 22:25
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Vielleicht noch mal zum besseren Verständnis: Du hattest natürlich recht damit, dass \( a \) aus der Potenzmenge \( P(X) \) kommt. \( f \) bildet dieses \( a \) nun auf ein Element des Abbildungsraums \( Abb(X, \mathbb{Z}_2) \) ab. Also ist \( f(a) \) eine Abbildung von \( X \) nach \( \mathbb{Z}_2 \), wo du dann ein Element \( x \) aus \( X \) einsetzen kannst und ein Element aus \( \mathbb{Z}_2 \) herausbekommst. \( f(a)(x) \) ist also ein Element in \( \mathbb{Z}_2 \).   ─   42 17.01.2021 um 22:32
Erst mal danke, dass du dir die Zeit für mich nimmst, ich stell mich grade wahrscheinlich dämlich an...
Den zweiten Teil deiner Antwort verstehe ich so:
f(a) ist eine Abbildung von X nach \(\mathbb{Z_2}\). D.h. es gilt: f : X \(\rightarrow\) \(\mathbb{Z_2}\): {x1,x2...xn} \(\rightarrow\) {0,1}. Wenn ich jetzt ein x \(\in\) X einsetze, kommt ein Element aus \(\mathbb{Z_2}\) heraus. Also wird jedem x1,x2,...xn \(\in\) X entweder die 0 oder die 1 zugeordnet, richtig?

Aber was genau macht das f(a)? Irgendwie checke ich noch nicht, wie a \(\in\) P(x) und auch x \(\in\) P(x) sein können, ohne dabei das gleiche Element zu beschreiben. Ist das X aus Abb(X,\(\mathbb{Z_2}\)) das gleiche, wie aus P(X)?

Wir haben Vektorräume erst vor ein paar Tagen eingeführt, unser Prof hat sehr ausführlich Gruppen, Ringe und Körper behandelt, deswegen blick ich da noch nicht so ganz durch, weshalb meine Fragen wahrscheinlich nicht so klug sind, sorry dafür!   ─   physikstudent(1.s) 17.01.2021 um 23:10
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\( f \) ist eine Abbildung von \( P(X) \) nach \( Abb(X, \mathbb{Z}_2) \). D.h. \( f \) ordnet jedem \( a \) aus der Potenzmenge \( P(X) \) ein Element aus \( Abb(X, \mathbb{Z}_2) \) zu. \( f(a) \) ist also wieder eine Abbildung, und zwar eine Abbildung von \( X \) nach \( \mathbb{Z_2} \).

Beispiel: Nehmen wir \( X=\{u,v\} \). Dann ist die Potenzmenge \( P(X)=\{ \emptyset, \{u\}, \{v\}, \{u,v\} \} \).
Nun ordnet \( f \) jedem Element aus der Potenzmenge eine Abbildung von \( X \) nach \( \mathbb{Z}_2 \) zu.
\( f( \emptyset ) \) könnte die Abbildung \( g_1: X \to \mathbb{Z}_2, x \mapsto 0 \) sein,
\( f( \{u\} ) \) könnte die Abbildung \( g_2: X \to \mathbb{Z}_2, x \mapsto \begin{cases} 1 & x=u \\ 0 & x=v \end{cases} \) sein,
\( f( \{v\} ) \) könnte die Abbildung \( g_3: X \to \mathbb{Z}_2, x \mapsto \begin{cases} 0 & x=u \\ 1 & x=v \end{cases} \) sein
und \( f( \{u,v\} ) \) könnte die Abbildung \( g_4: X \to \mathbb{Z}_2, x \mapsto 1 \) sein.
D.h. ich kann jetzt Werte aus \( X \) in \( f( \emptyset ) \) einsetzen und erhalte dann Werte aus \( \mathbb{Z}_2 \).
Beispielsweise ist \( f( \emptyset )(u) = g_1(u) = 0 \).
Oder anderes Beispiel \( f( \{u\} )(u) = g_2(u) = 1 \).
Jetzt wollen wir mal schauen, welche Eigenschaften \( f \) so hat. Es gilt
\( f( \{u\} \triangle \{v\} )(u) = f( \{u,v\} )(u) = g_4(u) = 1 = 1 + 0 = g_2(u) + g_3(u) = f( \{u\} )(u) + f( \{v\})(u) \)
Man kann letzteres jetzt noch umformen zu \( ( f( \{u\} ) + f( \{v\} ) )(u) \). Das ist einfach eine Definition. Wir erhalten also
\( f( \{u\} \triangle \{v\} )(u) = (f( \{u\} ) + f( \{v\}))(u) \)
Auf die gleiche Weise erhalten wir \( f( \{u\} \triangle \{v\} )(v) = (f( \{u\} ) + f( \{v\}))(v) \). Insgesamt gilt also
\( f( \{u\} \triangle \{v\} )(x) = (f( \{u\} ) + f( \{v\}))(x) \) für alle \( x \in X \)
Und somit gilt (das ist die Definition der Gleichheit von Abbildungen)
\( f( \{u\} \triangle \{v\} ) = f( \{u\} ) + f( \{v\}) \)

Jetzt allgemein: Für ein \( a \) aus der Potenzmenge \( P(X) \) soll \( f(a) \) die Abbildung \( g_a: X \to \mathbb{Z}_2, x \mapsto \begin{cases} 1 & x \in a \\ 0 & sonst \end{cases} \) sein.
Für ein \( x \) in \( a \) wäre also \( f(a)(x) = g_a(x)=1 \).
Für ein \( x \), das nicht in \( a \) liegt, wäre \( f(a)(x)=g_a(x)=0 \).
Ist das jetzt soweit klar? Oder gibt es irgendwo noch Verständnisprobleme?   ─   42 18.01.2021 um 00:14
Also erst einmal: ein großes Dankeschön für die Mühe!!

Also ich habe noch ein paar Fragen dazu:
1.) Habe ich das richtig verstanden, dass a \(\in\) X und X \(\in\) P(X) ist? Also ich nehme mal das Beispiel mit f({u}) = \(g_{2}\) : X \(\rightarrow\) \(\mathbb{Z_2}\). Dann wäre hier {u} mein a, richtig? Dieses kommt aus der Menge X = {u,v} und ist ein Element aus P(X). Es wird in den Abbildungsraum (Abb(X, \(\mathbb{Z_2}\)) auf die Abbildung \(g_{2}\) abgebildet. Die Abbildung \(g_{2}\) bildet dann ein x \(\in\) X entweder auf 0 oder auf 1 ab.

2.) Wie kommt man auf f({u} \(\triangle\){v})(u) = f{u,v})(u) als du die Eigenschaften nachgerechnet hast?

3.) Am Ende hast ja eine explizite Abbildungsvorschrift angegeben (\(g_{a}\) : X \(\rightarrow\) ...) Muss ich da jetzt noch alle Eigenschaften nachrechnen? Oder muss ich nur noch zeigen, dass diese Abbildungsvorschrift bijektiv ist?

Nochmals vielen Dank!

LG
  ─   physikstudent(1.s) 18.01.2021 um 13:59
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Zu 1) Das ist fast alles richtig, bis auf "Dieses kommt aus der Menge \( X = \{u,v\} \)". Das \( \{u\} \) bzw. \( a \) ist einfach ein Element aus \( P(X) \). Ansonsten sieht es aber so aus als hättest du alles richtig verstanden.

Zu 2) Das hat mit der Funktion eigentlich nichts zu tun. Es gilt einfach \( \{u\} \triangle \{v\} = \{u,v\} \). Das habe ich hier benutzt.

Zu 3) Für die Abbildung \( g_a \) musst du erstmal nichts nachrechnen. Du musst aber zeigen, dass die Abbildung \( f: a \mapsto g_a \) ein Ring-Isomorphismus ist. Das ist ja hier die Aufgabe. Und dazu musst du dann auch zwangsläufig mit der Funktion \( g_a \) arbeiten.

Ich hoffe, es ist jetzt klar, was du in dieser Aufgabe zeigen musst. Ansonsten melde dich gerne noch mal. Ich helfe dir gerne weiter :)   ─   42 18.01.2021 um 15:24
Vielen Dank für deine Zeit und Hilfsbereitschaft!!

Ich denke, ich habe es jetzt endlich verstanden. Lineare Algebra ist echt ein harter Brocken, Respekt an die, die reine Mathematik studieren!

Nochmal danke und LG.   ─   physikstudent(1.s) 18.01.2021 um 16:03
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Habe dir sehr gerne geholfen. Und es ist schön, wenn du es jetzt verstanden hast :)
Das größte Problem bei so abstrakten Dingen ist eigentlich, dass man sich immer bewusst sein muss, womit man gerade arbeitet. Also wie sehen die Objekte aus? Vielleicht muss man erstmal ein Beispiel oder eine Skizze machen, bis einem klar ist, was das alles soll. Das kann sehr aufwendig sein. Wenn man es dann aber verstanden hat, dann ist die lineare Algebra und generell die abstrakte Mathematik eigentlich sehr schön :)   ─   42 18.01.2021 um 16:20
Ja, das Beispiel hat wirklich geholfen. Und ich bin mir auch sicher, dass die Mathematik sehr schön wird, wenn man es verstanden hat, so war es auch in der Schule schon oder wie unser Prof sagen würde: "die Mathematik ist wunderschön, bleiben Sie dran!" ;D   ─   physikstudent(1.s) 18.01.2021 um 17:54

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