(Twitter)
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Ohje... schau dir bitte sämtliche Begriffe noch einmal an, du wirfst da einiges durcheinander.
Dimension: Anzahl linear unabhängiger Vektoren, um einen Vektorraum (nicht Dimension) aufzuspannen. Oder eben die Anzahl der Basisvektoren. Hat man maximal linear unabhängige Vektoren, so bilden diese eine Basis des Vektorraums. Für eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) braucht man also 3 Vektoren, die linear unabhängig sind, da die Dimension 3 ist.
Der Defekt ist nun die Dimension des Kerns und der Kern sind alle Vektoren, die auf 0 abgebildet werden. Bei einer Matrix also alle Vektoren mit \(Ax=0\) und \(x\neq 0\).
In kompletten folgenden Absatz spricht du dauernd von linear unabhängigen Basen. Das ist falsch. Das sind Vektoren und keine Basen. Außerdem ist nicht ganz klar, was du hier mit "um den Vektor darzustellen" meinst. Welchen Vektor denn?
In diesem Zusammenhang hattet ihr bestimmt schon den Rangsatz. Es gilt $$\mathrm{dim}(V)=\mathrm{\dim}(\mathrm{ker}(A))+\mathrm{rg}(A).$$ Den Rang einer Matrix kann man berechnen, indem man sie auf Zeilenstufenform bringt und alle Nicht-Nullzeilen zählt. Aus dem Rangsatz folgt dann sofort, dass die Anzahl der Nullzeilen die Dimension des Kern ist.
Ich hoffe, die Antwort hilft dir ein wenig weiter.
Dimension: Anzahl linear unabhängiger Vektoren, um einen Vektorraum (nicht Dimension) aufzuspannen. Oder eben die Anzahl der Basisvektoren. Hat man maximal linear unabhängige Vektoren, so bilden diese eine Basis des Vektorraums. Für eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) braucht man also 3 Vektoren, die linear unabhängig sind, da die Dimension 3 ist.
Der Defekt ist nun die Dimension des Kerns und der Kern sind alle Vektoren, die auf 0 abgebildet werden. Bei einer Matrix also alle Vektoren mit \(Ax=0\) und \(x\neq 0\).
In kompletten folgenden Absatz spricht du dauernd von linear unabhängigen Basen. Das ist falsch. Das sind Vektoren und keine Basen. Außerdem ist nicht ganz klar, was du hier mit "um den Vektor darzustellen" meinst. Welchen Vektor denn?
In diesem Zusammenhang hattet ihr bestimmt schon den Rangsatz. Es gilt $$\mathrm{dim}(V)=\mathrm{\dim}(\mathrm{ker}(A))+\mathrm{rg}(A).$$ Den Rang einer Matrix kann man berechnen, indem man sie auf Zeilenstufenform bringt und alle Nicht-Nullzeilen zählt. Aus dem Rangsatz folgt dann sofort, dass die Anzahl der Nullzeilen die Dimension des Kern ist.
Ich hoffe, die Antwort hilft dir ein wenig weiter.
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cauchy
Selbstständig, Punkte: 30.55K
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Kleine Korrektur: minimales statt maximales Erzeugendensystem bildet eine Basis
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mathejean
05.02.2021 um 21:11
Ups, sry :D
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mathejean
05.02.2021 um 21:18
Ja ich habe zu intensiv gelernt - bin jetzt dadurch komplett verwirrt. Die Basisbegriffe verstehe ich, lineare Abbildungen usw. auch (also z.B. dass man 3 linear unabhängige Vektoren benötigt, um einen dreidimensionalen Raum aufzuspannen (vereinfachterweise immer mit den kanonischen Repräsentanten) - ob es theoretisch im R3 auch 4 linear unabhängige Basisvektoren geben könnte - weiß ich nicht (war auch in der Form nicht Vorlesungsstoff) - lässt sich aber aus der Definition der Dimension herausdeuten: Die Anzahl der Vektoren in der Basis, die linear unabhängig sind, ist die Dimension des Vektorraums (so die Definition ca.)
Das Problem das Wissen jetzt irgendwie zusammenfügen verwirrt mich nur. Wenn ich z.B. (lineare Abbildungen) vom R2 in den R2 abbilden möchte nehme ich die kanonischen Repräsentanten und bilde sie ab und kann sie nach dem Fortsetzungssatz (das Bild einsetzen) und mit der Linearkombination in den neuen Vektorraum abbilden. Auch allgemein erscheint mir alles zum Thema lineare Abbildungen relativ logisch (auch von 2 d in 3 dimensionales Abbilden usw.)
Mein Problem, bzw. die Verwirrung kommt jetzt nur so zustande: Ich habe eine Matrix (2 * 8) (oder 4 * 8), die 2-Dimensional ist?
1. Allgemeines Definitionsproblem: eine Nullmatrix ist 0-Dimensional (keine Ausdehnung - Punkt), 1-Dimensional wäre ja theoretisch eine Ausdehnung in x-Richtung (), 2-Dimensional (wäre eine Fläche) - dh (x y)... (kann man das bei Vektoren so anwenden?),
2. Die Zeilen eines Vektors geben immer an, wie viele Dimensionen es geben könnte (oder habe ich mich durch die lineare Algebra zu sehr verwirren lassen (x, y, z) -> eine Matrix der Form (4 * 8 - hätte ja demnach 4-Dimensionen und keine 2) - (wenn ich eine Matrix habe 2 * 3 => dann sind impliziterweise 2 Spalten linear abhängig, da der Rang sonst 3 Wäre und dim U <= dim V (R2) sein sollte (was wieder dem entsprechende würde, dass eine Basis nur aus so vielen Elementen bestehen kann, wie die Dimension es vorgibt Dimension n => |B| = n
Und verwirrt hat mich zusätzlich der Kern von f (insbesondere deswegen, da wir kein Stufenverfahren selbst einmal durchprobiert haben - nur bez. zur Evaluierung des Ranges) - und ich mir das noch immer nicht erklären kann wie das funktionieren kann.
Wir sprechen von einem Vektorraum R2 (bspw, da es für mich am anschaulichsten ist)
d.h. 2 (Dimension R2) = die Dimension, die verloren geht, weil sie auf den Nullvektor abgebildet wird + die Dimension der linear unabhängigen Spalten / Zeilen
Nur wie man sich das vorstellen kann ist mir nicht ganz klar (eben zu den Problemen von vorhin bezogen.
z.B. ((1,0) (0,1) (10,3) (4,3) ....) (3 zeilen wären ja 3 Dimensional)
besser gesagt (10,5) (20,10) (die Dimension von V müsste 2 sein) = 2 Dimensionen gehen verloren, wird auf 0 abgebildet (beide Dimension 1 und 2 ist linear abhängig, daher gehen beide verloren?) - auf jeden Fall muss der Rang = 1 sein, da nach Errechnen (10 20 0 0 ) und daher der Defekt impliziterweise 1 (1 Dimensionen geht verloren)
Wenn der Defekt von R2 ein wäre, wäre eine Dimension zweier Vektoren voneinander abhängig? z.B. (10, 3) (20, 2) (dann könnte ich entweder die oder die Dimension verlieren, je nachdem?) - oder kann ich eine Dimension nur dann verlieren, wenn die Vektoren völlig voneinander abhängig sind? (könnte ich auch mehrere Dimensionen verlieren, z.B. im R3? - oder immer nur eine?)
Aber ich verstehe abseits davon nicht, wie sich die Dimension des Kerns definiert, und da hänge ich momentan komplett eben (v1 .... vn) (2d) * (x ) => dann könnte x der Kern sein (das Stufenleiterverfahren ist logisch, aber praktisch verstehe ich es nicht wirklich
Vielen Dank für deine Antwort - auch wenn sie mir bezüglich der Prüfung Angst macht - hab nur leider wieder etwas überdreht mit dem Lernen (also bin ich hoffentlich nicht so inkompetent, wie es die Frage vermuten lässt - nur, wenn ich nur einen kleinen Teil nicht verstehe bricht so ein wenig das ganze System zusammen) - und irgendwann... ist man dann einfach komplett verwirrt (lerne & arbeite seit 8 Monaten inkl. Wochenende durch - irgendwann ists zu viel :/ )
Hoffe du kannst mir da noch weiterhelfen - und nochmal, vielen, vielen Dank für deine Antwort :) ─ infomarvin 05.02.2021 um 21:36
Das Problem das Wissen jetzt irgendwie zusammenfügen verwirrt mich nur. Wenn ich z.B. (lineare Abbildungen) vom R2 in den R2 abbilden möchte nehme ich die kanonischen Repräsentanten und bilde sie ab und kann sie nach dem Fortsetzungssatz (das Bild einsetzen) und mit der Linearkombination in den neuen Vektorraum abbilden. Auch allgemein erscheint mir alles zum Thema lineare Abbildungen relativ logisch (auch von 2 d in 3 dimensionales Abbilden usw.)
Mein Problem, bzw. die Verwirrung kommt jetzt nur so zustande: Ich habe eine Matrix (2 * 8) (oder 4 * 8), die 2-Dimensional ist?
1. Allgemeines Definitionsproblem: eine Nullmatrix ist 0-Dimensional (keine Ausdehnung - Punkt), 1-Dimensional wäre ja theoretisch eine Ausdehnung in x-Richtung (), 2-Dimensional (wäre eine Fläche) - dh (x y)... (kann man das bei Vektoren so anwenden?),
2. Die Zeilen eines Vektors geben immer an, wie viele Dimensionen es geben könnte (oder habe ich mich durch die lineare Algebra zu sehr verwirren lassen (x, y, z) -> eine Matrix der Form (4 * 8 - hätte ja demnach 4-Dimensionen und keine 2) - (wenn ich eine Matrix habe 2 * 3 => dann sind impliziterweise 2 Spalten linear abhängig, da der Rang sonst 3 Wäre und dim U <= dim V (R2) sein sollte (was wieder dem entsprechende würde, dass eine Basis nur aus so vielen Elementen bestehen kann, wie die Dimension es vorgibt Dimension n => |B| = n
Und verwirrt hat mich zusätzlich der Kern von f (insbesondere deswegen, da wir kein Stufenverfahren selbst einmal durchprobiert haben - nur bez. zur Evaluierung des Ranges) - und ich mir das noch immer nicht erklären kann wie das funktionieren kann.
Wir sprechen von einem Vektorraum R2 (bspw, da es für mich am anschaulichsten ist)
d.h. 2 (Dimension R2) = die Dimension, die verloren geht, weil sie auf den Nullvektor abgebildet wird + die Dimension der linear unabhängigen Spalten / Zeilen
Nur wie man sich das vorstellen kann ist mir nicht ganz klar (eben zu den Problemen von vorhin bezogen.
z.B. ((1,0) (0,1) (10,3) (4,3) ....) (3 zeilen wären ja 3 Dimensional)
besser gesagt (10,5) (20,10) (die Dimension von V müsste 2 sein) = 2 Dimensionen gehen verloren, wird auf 0 abgebildet (beide Dimension 1 und 2 ist linear abhängig, daher gehen beide verloren?) - auf jeden Fall muss der Rang = 1 sein, da nach Errechnen (10 20 0 0 ) und daher der Defekt impliziterweise 1 (1 Dimensionen geht verloren)
Wenn der Defekt von R2 ein wäre, wäre eine Dimension zweier Vektoren voneinander abhängig? z.B. (10, 3) (20, 2) (dann könnte ich entweder die oder die Dimension verlieren, je nachdem?) - oder kann ich eine Dimension nur dann verlieren, wenn die Vektoren völlig voneinander abhängig sind? (könnte ich auch mehrere Dimensionen verlieren, z.B. im R3? - oder immer nur eine?)
Aber ich verstehe abseits davon nicht, wie sich die Dimension des Kerns definiert, und da hänge ich momentan komplett eben (v1 .... vn) (2d) * (x ) => dann könnte x der Kern sein (das Stufenleiterverfahren ist logisch, aber praktisch verstehe ich es nicht wirklich
Vielen Dank für deine Antwort - auch wenn sie mir bezüglich der Prüfung Angst macht - hab nur leider wieder etwas überdreht mit dem Lernen (also bin ich hoffentlich nicht so inkompetent, wie es die Frage vermuten lässt - nur, wenn ich nur einen kleinen Teil nicht verstehe bricht so ein wenig das ganze System zusammen) - und irgendwann... ist man dann einfach komplett verwirrt (lerne & arbeite seit 8 Monaten inkl. Wochenende durch - irgendwann ists zu viel :/ )
Hoffe du kannst mir da noch weiterhelfen - und nochmal, vielen, vielen Dank für deine Antwort :) ─ infomarvin 05.02.2021 um 21:36
Ok ich glaube ich habe verstanden, wie sich dee Rang und die Dimension des Defektes ausrechnet, was auch bedeutet, dass die Zeilen = den Dimensionen sind, dann nimmt man alle Vektoren (um auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen), errechnet dann den Spaltenrang, alle ungleich 0 und der Defekt alle gleich 0
Das ist die ganze Kunst dahinter oder? 😅 ev. nur kurz wenn was falsch wiedergegeben sein sollte mich bitte noch kurz darauf hinweisen, danke 🙂 ─ infomarvin 05.02.2021 um 22:21
Das ist die ganze Kunst dahinter oder? 😅 ev. nur kurz wenn was falsch wiedergegeben sein sollte mich bitte noch kurz darauf hinweisen, danke 🙂 ─ infomarvin 05.02.2021 um 22:21
Ja mit den Begriffen ist es so eine Sache - bitte nimm's mir nicht zu böse - mir gehts ums Verständnis und da bin ich mir noch nicht sicher bezüglich der Dimensionen und dem Rang (jetzt wo ich weiter die Vorlesung geschaut habe)
Es ist z.B. eine Matrix gegeben (1 2 (1. Zeile) 2 4 (2. Zeile))=> die kann auch dargestellt werden als (1 2 ) da die Spalten linear abhängig sind (so hats der Professor erklärt), er hat dann eben berechnet, dass der Rang 1 sei (alle Zeilen != 0) und die Defekt Defintionsmenge (x + 2y (1. Zeile) 2x + 4y (2. Zeile) -> dafür müsste man einsetzen (-2 1) (und dann errechnet, das eben das die Dimension 1 hat??) - da gilt dim(ker f)= def f = 1 (in dem Fall) (also müsste ein Vektor der Form (a,b) 1-Dimensional sein?)
Und er hat dazu einfach nur gemeint es ginge eine Dimension verloren
Sinngemäß: "Die Dimension des Kerns ist 1. Sie verlieren 1 Dimension nämlich in Richtung (-2 1), das wird auf 0 abgebildet, der Rest wird auf diese Gerade abgebildet. Die Ebene schrumpft zusammen auf eine gerade - weil eine Richtung (1 Dimensionsrichtung) auf 0 zusammengestaucht wird"
Und genau da liegt mein Problem warum ist ein Vektor (1 2 ) bspw. nicht dasselbe wie z.B. (1 2) (2 1 ) - habe ich durch die Hinzunahme eines weiteren Vektors 1 Dimension mehr (schon langsam hab ich das Gefühl, dass man mit einem ?-Dimensionalen Vektor (x y) nur eine Strecke aufspannen kann, und mit einem 2. Vektor (der linear unabhängig zum 1. Vektor ist, sonst fallen die Vektoren zusammen (wie im aufgezeigten Bsp.), der auch 2-Dimensional ist; eine Fläche?
Ich brauche also zwei linear unabhängige Vektoren der Form (a, b) (c,d) um einen 2-Dimensionalen Raum aufzuspannen, brauche aber lt. Dimensionsbegriff 2 Basisvektoren, um (a,b) zu erzeugen (und hätte damit mit (a,b) ohne (c,d) bereits einen 2-Dimensionalen Raum - also eine Fläche) - warum geht dann irgendwas wie im Bsp. verloren, weil die Vektoren linear abhängig sind?
Danke für deine Geduld und Hilfe :) ─ infomarvin 05.02.2021 um 23:05
Es ist z.B. eine Matrix gegeben (1 2 (1. Zeile) 2 4 (2. Zeile))=> die kann auch dargestellt werden als (1 2 ) da die Spalten linear abhängig sind (so hats der Professor erklärt), er hat dann eben berechnet, dass der Rang 1 sei (alle Zeilen != 0) und die Defekt Defintionsmenge (x + 2y (1. Zeile) 2x + 4y (2. Zeile) -> dafür müsste man einsetzen (-2 1) (und dann errechnet, das eben das die Dimension 1 hat??) - da gilt dim(ker f)= def f = 1 (in dem Fall) (also müsste ein Vektor der Form (a,b) 1-Dimensional sein?)
Und er hat dazu einfach nur gemeint es ginge eine Dimension verloren
Sinngemäß: "Die Dimension des Kerns ist 1. Sie verlieren 1 Dimension nämlich in Richtung (-2 1), das wird auf 0 abgebildet, der Rest wird auf diese Gerade abgebildet. Die Ebene schrumpft zusammen auf eine gerade - weil eine Richtung (1 Dimensionsrichtung) auf 0 zusammengestaucht wird"
Und genau da liegt mein Problem warum ist ein Vektor (1 2 ) bspw. nicht dasselbe wie z.B. (1 2) (2 1 ) - habe ich durch die Hinzunahme eines weiteren Vektors 1 Dimension mehr (schon langsam hab ich das Gefühl, dass man mit einem ?-Dimensionalen Vektor (x y) nur eine Strecke aufspannen kann, und mit einem 2. Vektor (der linear unabhängig zum 1. Vektor ist, sonst fallen die Vektoren zusammen (wie im aufgezeigten Bsp.), der auch 2-Dimensional ist; eine Fläche?
Ich brauche also zwei linear unabhängige Vektoren der Form (a, b) (c,d) um einen 2-Dimensionalen Raum aufzuspannen, brauche aber lt. Dimensionsbegriff 2 Basisvektoren, um (a,b) zu erzeugen (und hätte damit mit (a,b) ohne (c,d) bereits einen 2-Dimensionalen Raum - also eine Fläche) - warum geht dann irgendwas wie im Bsp. verloren, weil die Vektoren linear abhängig sind?
Danke für deine Geduld und Hilfe :) ─ infomarvin 05.02.2021 um 23:05
Mich hat nur folgende Definition verwirrt: Besitzt ein Vektorraum V eine endliche Basis B, so ist die Dimension dim V gleich der Anzahl |B| der Vektoren von B. (also die Anzahl der maximalen unabhängigen Vektoren bestimmt die Dimension, die vollends mit diesen Basisvektoren aufgespannt werden kann) (...) (sonst kann man sich nicht wirklich etwas darunter vorstellen...) Was soll man mit der Information anfangen können: Ich habe mir dann folgendes vorgestellt: ich nehme einen Vektor aus dem R2 : (10 / 5) = 10 * e1 + 5 *e2 und habe mir gedacht, dass der Vektor einfach 2-Dimensional sei. Um eine 2-Dimensionale Fläche aufzuspannen (das wollte ich zwischenzeitlich sowieso einmal fragen) reicht ja das quasi nicht aus (außer man nähme die x-Achse als Abgrenzung - sehr hypothetisch))
Also wirklich die allerletzte Frage: ich brauche um eine 2-Dimensionale Fläche aufzuspannen 2 unabhängige Vektoren (mehr gibt es auch nicht in der 2. Dimension lt. Definition), für eine 3-Dimensionale eben 3. Sollte es durch irgendeine Linearkombination der Vektoren möglich sein, durch eine lineare Abbildung auf 0 abzubilden, so definiert sich dieser Punkt als Kern.
Die Dimension des Kerns ist glaub ich einfacher zu verstehen/ zu berechnen, wenn man zuerst den Rang berechnet und die Rangformel berechnet - aber es prinzipiell ein Punkt (im 2 Dimensionalen Vektorraum?
Diesen könnte man genauso wie den Rang mithilfe des Stufenverfahrens ausrehnen (dim(f(V)) (^= !=0); Kerndimension (Spalte / Zeile die nur 0 enthält)
Habe mir jetzt bei den Begriffen mehr Mühe gegeben - hoffe das passt so, und hoffe auch jeder versteht, dass es nicht sinnvoll ist von Fragenden etwas lernen zu wollen :D
Danke jedenfalls für deine umfassende Hilfe & Geduld :) ─ infomarvin 05.02.2021 um 23:45
Also wirklich die allerletzte Frage: ich brauche um eine 2-Dimensionale Fläche aufzuspannen 2 unabhängige Vektoren (mehr gibt es auch nicht in der 2. Dimension lt. Definition), für eine 3-Dimensionale eben 3. Sollte es durch irgendeine Linearkombination der Vektoren möglich sein, durch eine lineare Abbildung auf 0 abzubilden, so definiert sich dieser Punkt als Kern.
Die Dimension des Kerns ist glaub ich einfacher zu verstehen/ zu berechnen, wenn man zuerst den Rang berechnet und die Rangformel berechnet - aber es prinzipiell ein Punkt (im 2 Dimensionalen Vektorraum?
Diesen könnte man genauso wie den Rang mithilfe des Stufenverfahrens ausrehnen (dim(f(V)) (^= !=0); Kerndimension (Spalte / Zeile die nur 0 enthält)
Habe mir jetzt bei den Begriffen mehr Mühe gegeben - hoffe das passt so, und hoffe auch jeder versteht, dass es nicht sinnvoll ist von Fragenden etwas lernen zu wollen :D
Danke jedenfalls für deine umfassende Hilfe & Geduld :) ─ infomarvin 05.02.2021 um 23:45
Bin in eine kaufmännische höhere Schule gegangen, da haben wir mit Matrizen In- und Output berechnet von Produktionen usw. Hab im Sommer so gut wie es ging Defizite aufgeholt, die größtenteils bei Algebra nicht einmal so zu bemerken waren, bei den Kapiteln mit den Vektoren/ Matrizen macht sich das jedoch leider schon bemerkbar (auch wenn es eins der letzten Themen ist, die zu lernen sind - aber möchte nichts auslassen)
Ja wieder falsche Begriffe verwendet: um eine Fläche aufzuspannen brauch ich 2 unabhängige Vektoren des R2 und in einem Körper 3 unabhängige Vektoren (ist mir jetzt auch nicht ganz klar, einmal hast du geschrieben im Körper/ Raum reichen 2 und einmal, wenn man 3 hat ist man im Raum/ Körper 😅)
Traurig, dass schwierige Beweise teilweise einfacher zu verstehen sind, als defizitäres Grundlagenwissen - danke auf jeden Fall :) ─ infomarvin 06.02.2021 um 00:49
Ja wieder falsche Begriffe verwendet: um eine Fläche aufzuspannen brauch ich 2 unabhängige Vektoren des R2 und in einem Körper 3 unabhängige Vektoren (ist mir jetzt auch nicht ganz klar, einmal hast du geschrieben im Körper/ Raum reichen 2 und einmal, wenn man 3 hat ist man im Raum/ Körper 😅)
Traurig, dass schwierige Beweise teilweise einfacher zu verstehen sind, als defizitäres Grundlagenwissen - danke auf jeden Fall :) ─ infomarvin 06.02.2021 um 00:49
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.