Aus welchen Grund ist die folgende Argumentation über Relationen falsch?

Aufrufe: 231     Aktiv: 31.01.2023 um 14:25
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(1) Eine Relation auf X sei symmetrisch und transitiv, dh für beliebige a, b, c ∈ X gilt:
a ~ b => b ~ a  und a ~ b, b ~ c => a ~ c

(2) Da a, b, c beliebig sind, gilt auch a ~ b => b ~ a => a ~ b ~ a => a ~ a auf Grund der Transivität (wähle c als a)

(3) Somit folgt die Reflexivität aus Symmetrie und Transivität.

Meine Idee ist, dass die Definiton von Reflexivität ja besagt, dass a ~ a für alle a ∈ X gelten muss. Der Beweis oben zeigt aber nur, dass a ~ a aus a ~ b folgt. Wenn also a nicht in Relation zu b steht, weiß man nicht ob auch a ~ a gilt. Ist das soweit richtig?
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2 Antworten
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Im Prinzip ja.
Ich nehme an, mit "Argumentation" meinst du (2)?
Schreibe den Beweis mal sauber auf, d.h. nicht einfach mit a,b losrechnen, sondern immer (!) dabei sagen, für welche. Nicht erst im Nachhinein darüber nachdenken.
Also: zu zeigen: für alle $a\in X$ gilt ... 
Beweis: sei $a \in X$. Dann..
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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So wie du es sagst ist es (wie ich dich verstehe richtig). Es wurde nur folgende Aussage Beweisen: Für eine symmetrische transitive Relation\(R\) auf \(X\) gilt: wenn für alle \(a \in X\) ein \(b\in X\) existiert,  s.t. \(aRb\) , dann ist \(R\) reflexiv.
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