Lösen von Gleichungssystemen (Grafisch)(Matrizen)

Aufrufe: 455     Aktiv: 03.04.2021 um 19:41
0
Ich habe im Allgemeinen folgendes Problem (habe dazu schon einmal eine Frage gestellt - eine ähnliche)
Nun ja ich habe ein Gleichungssystem, z.B.
2x1 + 4x2 = 8
4x1 + 8x2 = 16
Kurz zusammengefasst, könnte ich dieses Gleichungssystem auch grafisch löschen, indem ich sage die Lösung (notationell) sei {(-b|a) *c | c aus R} oder gleich umformen (und davon ausgehe, dass x2 für y steht)=> I) x2I(x) = (8-2x)/4 und II)x2II(x) = (16-4x)/(16). Allgemein und parametisiert gesehen, wäre die Lösung ja {(-x2| x1) *c  + inhomogen <=> (0 | 8 bzw. 16)| c aus R}?

Dazu meine Fragen (logische Unklarheiten)
-)Würde das allgemein nur bis x2 Funktionieren (man möchte ja das GS) auch funktional verstehen und ev. die Lösung deuten (Klar kann ich auch weiterhin egal, wie ein GS sowieso, sofern invertierbar, mit Gauß lösen, aber ich möchte es grafisch verstehen lernen)
-)Mein größtes Logikproblem ist, ich habe ein GS bis I...n, d.h. es würde ja prinzipiell nach vorigem Ansatz nichts bringen eine Zeile zu lösen, sondern es müsste diese Lösung auf alle zutreffen. Was ja impliziert, dass wenn die Det, wie in diesem Fall = 0 ist (16 - 16), es entweder KEINE? oder unendlich viele Lösung gibt (was funktional auch abzulesen ist) sofern die Koeffizientenmatrix eine Det != 0 hat, gibt es genau (immer?) genau eine Lösung? Eine Det = 0 bedeutet zudem, dass die Zeilen bzw. Spalten linear abhängig sind, es daher nicht garantiert ist, dass die Dimension, die durch das GS aufgespannt wird für bestimmte Lösungswerte nicht erreicht werden kann? (weil 2x2 würde bedeuten, eine Fläche im 2-dimensionalen Raum, aber da die einzelnen Vektoren linear abhängig sind, wird eben diese Fläche im R^(2) nicht vollends aufgespannt, und daher auch nicht jeder Punkt in der Ebene R^(2) erreicht wird, sonst, wenn die Vektoren linear unabhängig wären, wäre das immer möglich?

Ich habe extra überall Fragezeichen dazu gemacht, da ich mir nicht sicher bin, ob meine Annahmen überhaupt in irgendeiner Form stimmen (rein logisch, und von dem, was ich bisher gelernt habe, müsste es stimmen) - ich will aber endlich Mathematik nicht mehr als Auswendig-Lernfach betrachten (und dadurch scheitern), sondern die Logik (und das ist bei mir vor allem grafisch-funktional garantiert) verstehen lernen und nicht nur stur das Gauß'sche Verfahren auswendig beherrschen und es nach einer Woche wieder vergessen.

Eine ausführliche Frage, aber ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank :)
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 82

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1
Graphisch sind Gleichungssysteme nur im \(\mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^3\) lösbar. Im ersten Fall ist es der Schnittpunkt zweier Geraden (oder eine Gerade, wenn sie identisch sind). Im zweiten Fall ist es der Schnittpunkt dreier Ebenen, eine Schnittgerade von Ebenen oder die Ebene selbst, wenn die Gleichungen wieder identisch sind. 

In höheren Dimensionen kann man das ganz gar nicht mehr graphisch lösen und bereits im \(\mathbb{R}^3\) kann man das - zumindest per Hand - nicht mehr sinnvoll zeichnen. 

Und wie du schon richtig erkannt hast, stellen diese Gleichungen im ersten Fall nichts anderes als Geraden und im zweiten Fall nichts anderes als Ebenen dar (Koordinatenform).
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
0
Man sieht doch sofort, dass die 2. Gleichung das doppelte der 1. Gleichung ist. Also keine neue Information. 2 Unbekannte, 1 Gleichung x1 = 4- 2x2.
Lösung nicht eindeutig.
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12.68K

 
Das ist mir auch bewusst, danke - die habe ich auch selbst aufgestellt. Insofern als dass die Zeilen der Koeffizientenmatrix das doppelte jeweils sind, muss auch die Lösung das Doppelte jeweils voneinander sein, denn sonst wäre das Gleichungssystem unlösbar, ist es das Doppelte, gibt es unendlich viele Lösungen. Das war aber grundsätzlich nicht meine Frage, ich wollte, das eigentlich illustriert an dem GS ev. verstehen, wie es allgemein geht, ein GS funktional zu lösen, denn in Wirklichkeit ist ein GS ja nichts anderes als Funktionen? (kann stimmen, muss nicht, deswegen auch meine Frage) - denn würde man das GS homogen, inhomogen lösen für die jeweilige Zeile sieht man in dem Fall sofort, dass die Funktionen gleich sind, sprich für das jeweilige x unendlich viele Lösungen haben. Die Frage ist und war ob, wenn ich bspw. ein GS mit 4 Zeilen (nicht zwangsweise 4 Unbekannten habe), dieses auch funktional darstellen kann, oder ob die Vorgehensweise nur bei 1x2 bzw. 2x2 GS funktioniert.
Ps.: Ich habe dir kein Dislike gegeben (gebe dir aber gerne ein Like, dass du keine negative Bewertung hast in Summe)   ─   sven03 03.04.2021 um 19:34

Kommentar schreiben