Hallo Zusammen

Ich hätte eine Verständnisfrage zur Kettenregel im mehrdimensionalen Fall. Irgenwie bin ich da ein wenig verwirrt. 

Wir hatten die Kettenregel wie folgt eingeführt:
Sei \(U \subset \mathbb{R}^n, V \subset \mathbb{R}^m\) und \(f:U \rightarrow V\) und \(g:V \rightarrow \mathbb{R}^k\). Falls f in a und g in f(a) differenzierbar ist dall ist auch \(g \circ f\) in a differenzierbar und es gilt \(d(g\circ f)|_a=dg|_a \circ df|_a\). 

Nun verstehe ich nicht ganz wiso man hier nicht noch eine "Laufvariable" bzw mehrer hat also z.b. \(d(g\circ f)|_a(x_1,x_2,...x_{dim(U)})\), denn meines Wissens zeigt ja a nur an, wo dass das Differential an die Funktion \(g \circ f\) "anliegt" und dann müsste man doch noch Variablen haben, die das Differental "beschreiben", da ja im Mehrdimensionalen das Differential keine Zahl sondern eine Funktion ist oder nicht?

Meine Frage kommt daher, dass ich bei einer Aufgabe verunsichert war, da ich mit einfach diese "Laufvariabeln" dazugeschrieben habe, als ich dann aber in der Litteratur andere Beispiele betrachtet haben, so haben sie es ohne diese gelöst, das hat mich nun verunsichert.

Die Aufgabe wäre folgende gewesen:

Gegeben sind \(n(s,t)=(s^2+3t,2s-t), f(x,y)=x^2y+x\), berechne das Differential \(d(n\circ f)|_{(1,2)}\). Aus dem Satz von oben ergab sich dass \(d(f \circ n)|_{(1,2)}(u,v)=df|_{f(1,2)} \circ dn|_{(1,2)}(u,v)\)
Also ich schrib dann für mich dieses \((u,v)\) einfach dazu, war mir nun aber total unsicher ob das so geht. 

Ich berechnete dann \(dn|_{(1,2)}(u,v)=Jac(n)_{(1,2)} \cdot (u,v)^T= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot (u,v)^T= \begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix} \)

Nun dachte ich mir \(d(f \circ n)|_{(1,2)}(u,v)=df|_{f(1,2)} \circ dn|_{(1,2)}(u,v)=df_{(7,0)}(\begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix})=Jac(f)_{(7,0)}\cdot \begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 & 49 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix}=128u-4v\)

Nun bin ich aber extrem verwirrt, da in der Literatur das niemals so gemacht wurde bzw. die auch keine Laufvariabeln hatten, daher meine Frage funktionniert das also so nicht und wenn ja wieso brauche ich keine "Laufvariabeln"?

Wäre euch wirklich sehr dankbar für eure Hilfe