Wie berechne ich diese Ableitung mit der Kettenregel?

Aufrufe: 1166     Aktiv: 12.04.2021 um 19:44

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Hallo Zusammen

Ich hätte eine Verständnisfrage zur Kettenregel im mehrdimensionalen Fall. Irgenwie bin ich da ein wenig verwirrt. 

Wir hatten die Kettenregel wie folgt eingeführt:
Sei \(U \subset \mathbb{R}^n, V \subset \mathbb{R}^m\) und \(f:U \rightarrow V\) und \(g:V \rightarrow \mathbb{R}^k\). Falls f in a und g in f(a) differenzierbar ist dall ist auch \(g \circ f\) in a differenzierbar und es gilt \(d(g\circ f)|_a=dg|_a \circ df|_a\). 

Nun verstehe ich nicht ganz wiso man hier nicht noch eine "Laufvariable" bzw mehrer hat also z.b. \(d(g\circ f)|_a(x_1,x_2,...x_{dim(U)})\), denn meines Wissens zeigt ja a nur an, wo dass das Differential an die Funktion \(g \circ f\) "anliegt" und dann müsste man doch noch Variablen haben, die das Differental "beschreiben", da ja im Mehrdimensionalen das Differential keine Zahl sondern eine Funktion ist oder nicht?

Meine Frage kommt daher, dass ich bei einer Aufgabe verunsichert war, da ich mit einfach diese "Laufvariabeln" dazugeschrieben habe, als ich dann aber in der Litteratur andere Beispiele betrachtet haben, so haben sie es ohne diese gelöst, das hat mich nun verunsichert.

Die Aufgabe wäre folgende gewesen:

Gegeben sind \(n(s,t)=(s^2+3t,2s-t), f(x,y)=x^2y+x\), berechne das Differential \(d(n\circ f)|_{(1,2)}\). Aus dem Satz von oben ergab sich dass \(d(f \circ n)|_{(1,2)}(u,v)=df|_{f(1,2)} \circ dn|_{(1,2)}(u,v)\)
Also ich schrib dann für mich dieses \((u,v)\) einfach dazu, war mir nun aber total unsicher ob das so geht. 

Ich berechnete dann \(dn|_{(1,2)}(u,v)=Jac(n)_{(1,2)} \cdot (u,v)^T= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot (u,v)^T= \begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix} \)

Nun dachte ich mir \(d(f \circ n)|_{(1,2)}(u,v)=df|_{f(1,2)} \circ dn|_{(1,2)}(u,v)=df_{(7,0)}(\begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix})=Jac(f)_{(7,0)}\cdot \begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 & 49 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2u+3v \\ 2u-v \end{pmatrix}=128u-4v\)

Nun bin ich aber extrem verwirrt, da in der Literatur das niemals so gemacht wurde bzw. die auch keine Laufvariabeln hatten, daher meine Frage funktionniert das also so nicht und wenn ja wieso brauche ich keine "Laufvariabeln"?

Wäre euch wirklich sehr dankbar für eure Hilfe

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Du hast in Deinen Formeln mehrere Fehler, vielleicht rührt daher Deine Verwirrung.

1. Die Kettenregel in Deinem ersten Absatz muss \(d(g\circ f)|_a=dg|_{f(a)}\circ df|_a\) lauten. Hier sind \(dg\) und \(df\) lineare Abbildungen und werden als solche verknüpft. Die Schreibweise \(|_a\) bedeutet "\(a\) in das Argument eingesetzt". Was sind "Laufvariablen"?

2. Welches Differential möchtest Du berechnen, \(d(n\circ f)\) oder \(d(f\circ n)\)? Das bleibt unklar. Das erste ist nicht wohldefiniert.

3. Die Formel angewendet muss lauten: \(d(f\circ n)|_{(1,2)}=df|_{n(1,2)}\circ dn|_{(1,2)}\). Es ist gemeint: \(df|_{n(1,2)}=df(n(1,2))\) und \(dn|_{(1,2)}=dn(1,2)\). \((u,v)\) ergibt hier keinen Sinn.

Hilft das?
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Hallo

Vielen Dank, ja habe gemerkt, dass die Formeln zwar richtig auf meiner Lösung waren, ich sie jedoch falsch abgeschrieben habe hier.

1. Also so wie ich das weiss ist das Differential ja eine Funktion, die ja an einer Stelle a an die Funktion anliegt, und dann muss sie ja noch von Variabeln abhängen also wie das x bei f(x) im eindimensionalen Fall. Diese habe ich Laufvariabeln genannt und habe sie \((u,v)\) benannt. Verstehst Du was ich meine?

2. ah sorry ja ich muss \(d(f \circ n)\) berechnen

3. Also diesen Punkt verstehe ich leider nicht wirklich, wieso darf ich hier \((u,v)\) nicht anhängen, denn wie bei 1 gesagt ist doch das Differential eine Funktion, also muss sie ja von irgendetwas abhängig sein, wenn nein wann weiss ich dann ob ich es anhängen muss oder nicht?
also ist es falsch wenn ich sage:
\(d(f \circ n)|_{(1,2)}(u,v)=df|_{(n(1,2))} \circ dn|_{(1,2)}(u,v)=df|_{(7,0)}(\begin{pmatrix} 2u-3v \\ 2u-v \end{pmatrix})=Jac(f)_{(7,0)}\cdot \begin{pmatrix} 2u-3v \\ 2u-v \end{pmatrix}\)

Sorry das verstehe ich wirklich nicht, wäre froh wenn du mir das erklären könntest
  ─   karate 12.04.2021 um 14:00

Achso, na gut, falsch ist das nicht. Ich würde \(u,v\) aber nicht mitführen. Es ist viel natürlicher, die linearen Abbildungen einfach durch ihre Darstellungsmatrizen zu repräsentieren. Du sparst Dir die Schreibarbeit. Die Darstellungsmatrix der Komposition zweier Linearen Abbildungen ist übrigens das Produkt der Darstellungsmatrizen.

Du solltest \(df|_{n(1,2)}\) statt \(df|_{f(1,2)}\) schreiben. In dieser Jacobimatrix hast Du einen falschen Wert von \[\frac{\partial f}{\partial x}(n(1,2))\] erhalten, rechne noch einmal nach.
  ─   slanack 12.04.2021 um 17:47

Vorab mal vielen Dank für deine sehr grosse Hilfe!!!

Nun hätte ich aber noch ein Paar Fragen welche ich gerne stellen würde.
Also kann ich das Differential \(dg|_{(a,b)}=Jac(g)_{(a,b)}\) schreiben für eine beliebige Funktion \(g\) oder spricht man dann da nicht mehr vom Differential, da es ja eigentlich per Definition nicht ganz korrekt ist es einfach so zu schreiben?
Aber gemeint ist immer noch das gleiche wie wenn man schreiben würde \(dg|_{(a,b)}(h)=Jac(g)_{(a,b)}\cdot h\) oder?
Ist bei dir die Darstellungsmatrix gleichbedeuted wie die Jacobimatrix?

noch kurz zum Fehler ich glaube es sollte heissen \(2u+3v\) bzw \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}\) oder meinst du einen anderen?
  ─   karate 12.04.2021 um 18:01

Genau genommen ist die Jacobi-Matrix nicht das Differential, sondern die Darstellungsmatrix des Differentials bezüglich der kanonischen Basis. Man kann diese Dinge nicht gleichsetzen, aber miteinander identifizieren (d.h. es gibt einen linearen Isomorphismus zwischen linearen Abbildungen und Darstellungsmatrizen bzgl. der kanonischen Basis). Richtig wäre z.B.:\[dg|_{(a,b)}\pmatrix{u\\v}=\mathrm{Jac}(g)|_{(a,b)}\cdot\pmatrix{u\\v}\] oder \(dg(a,b)\simeq\mathrm{Jac}(g)(a,b)\) zu schreiben, wobei man dann erklären müsste, was genau mit \(\simeq\) gemeint ist (nämlich die Identifizierung mittels des linearen Isomorphismus). In konkreten Rechnungen würde ich immer alles direkt mit den Jacobimatrizen ausrechnen.

Dein Fehler: in der Rechnung muss es \[\mathrm{Jac}(f)(7,0)=\pmatrix{1&49}\] heißen.
  ─   slanack 12.04.2021 um 18:27

Aha, also heisst das, dass es die Matrix der dazugehörigen Funktion \(dg: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) wobei \(g:U \rightarrow V, U \subset \mathbb{R}^n, V\subset \mathbb{R}^k\) ist. Das haben wir so nie wirklich angesprochen aber macht wirklich Sinn, nun verstehe ich auch wieso man bei konkreten Rechnungen auch nur mit der Jacobimatrix rechnen kann, da dies ja eigentlich das "essentielle" ist.
Bezüglich des Fehlers werde ich es nochmals anschauen vielen herzlichen Dank.
  ─   karate 12.04.2021 um 19:02

Ja, richtig. Das ist eine Konsequenz daraus, dass für einen kanonischen Basisvektor \(e_i\) gilt: \(dg|_a(e_i)=\partial_{e_i}g(a)\), also die Richtungsableitung in der Richtung \(e_i\) bzw die partielle Ableitung nach \(e_i\). Das müsstet Ihr in der Vorlesung gesehen haben. Diese partielle Ableitung ist ja die \(i\)-te Spalte von \(\mathrm{Jac}(g)(a)\).   ─   slanack 12.04.2021 um 19:31

Ja das haben wir gesehen, ah nun macht das ganze schon mehr Sinn vielen Dank.   ─   karate 12.04.2021 um 19:44

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