Dein Beweis kann überhaupt nicht funktionieren, weil die Aussage falsch ist. Vielleicht ein Abschreibfehler?

Wenn man den Fall \( n=1 \) überprüft, erhält man jedenfalls
\( \sum_{j=1}^1 \frac{4}{(j+1)(j+1)} = 1 \neq \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{1+2} \)

Außerdem solltest du beim Induktionsanfang mit dem Summenzeichen aufpassen. Wenn du \( n=0 \) einsetzt, dann erhälst du formal erstmal \( \sum_{j=1}^0 \frac{4}{(j+1)(j+1)} \) und nicht \( \sum_{j=1}^0 0 \). Dass die beiden Ausdrücke hier übereinstimmen, ist purer Zufall. Im Allgemeinen wird das nicht so sein.