Beweis Cosinus des Drehwinkels

Erste Frage Aufrufe: 320     Aktiv: 18.07.2020 um 15:57

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Meine Frage:

Durch Bestimmung der komplexen Eigenwerte einer orthogonalen Matrix A erhalte ich die folgende Formel: cos(ϕ)=12(tr(A)−1). In Lehrbüchern wird der Drehwinkel immer über diese Formel definiert. Ich suche nun nach einem Beweis dafür, dass der Winkel ϕ gerade dem Drehwinkel der durch A gegebenen Rotation entspricht und ggf. nach einer anschaulichen Erklärung.

 

Meine Ideen:

Ich habe versucht den Cosinus des von Ax und x eingeschlossenen Winkels, wobei x einen zur Drehachse orthogonal stehenden Vektor bezeichnet, über

cos(Ax,x)=⟨Ax,x⟩|x|2

zu bestimmen und irgendwie die komplexen Eigenwerte ins Spiel zu bringen, bin daran bisher aber gescheitert.

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Punkte: 16

 

Ich finde \(tr(A) = n-2+2\cos \phi\) für Drehungen im R^n, das sieht anders aus als die oben angegebene.   ─   mikn 18.07.2020 um 15:56
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