Konstanz einer Funktion mittels Ungleichung zeigen

Aufrufe: 489     Aktiv: 21.01.2021 um 12:50

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Hallo

für die untenstehende Aufgabe bräuchte ich einen Tipp/Ansatz, wie ich sie lösen kann. Ich habe bereits versucht mit dem Mittelwertsatz zu arbeiten, aber das führte mich nicht zum Ergebnis. Dann habe ich überlegt noch den Schrankensatz einzubeziehen und habe |x-y| als Schranke gewählt. In Kombination mit dem Mittelwertsatz habe ich dann durch umformen zwar die gezeigte Ungleichung erhalten, denke aber, dass ich damit die Konstanz von f noch nicht gezeigt habe. Da die Ableitung von f ja 0 sein muss für Konstanz von f, habe ich auch überlegt, die Gleichung die man durch den Mittelwertsatz erhält, 0 zu setzen, aber das führte mich (bisher) auch nicht zum Ergebnis.

Hätte jemand einen Tipp wie ich vorgehen kann bzw. welche Sätze ich anwenden kann/muss und welcher meiner oben genannten Ansätze gut bzw. falsch ist ? 

PS: Ich möchte keine Lösung oder so hier erhalten, lediglich einen Tipp/Ansatz, um die Aufgabe selber lösen zu können.

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Erstmal möchte ich anmerken, dass du nicht einfach so den Mittelwertsatz anwenden kannst, weil du zunächst gar nicht weißt, ob \(f\) differenzierbar ist.

Allerdings können wir den Differentialquotienten für \(f\) berechnen: Betrachte \(\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}\), verwende die gegebene Abschätzung. Was passiert für \(h\to0\)?

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Danke erstmal für die Antwort, das mit dem Differentialquotienten ist natürlich eine gute Idee, aber mein Verständnisproblem ist noch wie man eine Abschätzung bei der Berechnung des Differentialquotienten nutzt und wie man den Differentialquotienten bzw den Grenzwert von diesem, da dies ja die erste Ableitung ist, bei so einer allgemeinen Funktion berechnet ? Wir haben immer nur die Differentialquotienten für bestimmte Funktionen mit gegebener Funktionsvorschrift berechnet und da kam auch nie eine Abschätzung vor.   ─   anonymc1cc3 21.01.2021 um 12:49

Nach Voraussetzung gilt $$\frac{|f(x+h)-f(x)|}{|h|}\leq\frac{|x+h-x|^2}{|h|}=|h|.$$ Jetzt kannst du \(h\to0\) betrachten.   ─   stal 21.01.2021 um 12:50

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