Hallo zusammen,

ich bin mir bei der Bearbeitung einer Aufgabe mit Ellipsen ziemlich unsicher. Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung

\(\frac{(x-4)^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)

Diese Ellipse soll um 30° gedreht werden. Gesucht ist die Gleichung der gedrehten Ellipse.

Ich habe zunächst die Parametergleichungen bestimmt und zu einem Vektor zusammengefasst. 

\(u = 4 + 5 \cos(t)\)
\(v = 3 \sin(t)\)

$$
\begin{pmatrix}
u\\
v\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 + 5 \cos(t)\\
3 \sin(t)\\
\end{pmatrix}
$$

Als nächstes habe ich die Drehmatrix bestimmt.

$$
D=
\begin{pmatrix}
\cos(30°) & \sin(30°)\\
-\sin(30°) & \cos(30°)\\
\end{pmatrix}
$$

$$
D=
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{pmatrix}
$$

Die inverse Drehmatrix ist dann

$$
D^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{pmatrix}
$$

u und v sind die Koordinaten in einem um 30° gedrehten Koordinatensystem. Man müsste dann also die Drehmatrix mit xy multiplizieren um uv zu erhalten.

$$
\begin{pmatrix}
u\\
v\\
\end{pmatrix}
=
D
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}
$$

Das dann nach xy umgestellt ergibt

$$
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}
=
D^{-1}
\begin{pmatrix}
u\\
v\\
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 + 5 \cos(t)\\
3 \sin(t)\\
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} \cos(t) - \frac{3}{2} \sin(t)\\
2 + \frac{5}{2} \cos(t) + \frac{3}{2} \sqrt{3} \sin(t)\\
\end{pmatrix}
$$

Dann ist ja

\(x = 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} \cos(t) - \frac{3}{2} \sin(t)\)
und
\(y = 2 + \frac{5}{2} \cos(t) + \frac{3}{2} \sqrt{3} \sin(t)\)

Kann man das bis hier so rechnen? Und wenn ja wie komme ich jetzt von den beiden Gleichungen wieder auf die Normalform?