Vollstände Induktion - Rentenendwert

Erste Frage Aufrufe: 93     Aktiv: 27.12.2021 um 14:47

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Hallo habe folgende Aufgabenstellung und finde leider keinen Ansatz

Eine Rate r werde jährlich nachschüssig auf ein Konto eingezahlt. Die Einzahlungen werden am Ende eines jeden Jahres mit p% verzinst. 
Beweisen sie mit der vollständigen Induktion, dass der Rentenendwert

Rn = R * (q^n - 1) / (q-1)  mit q = 1+p/100 beträgt

Vollständige Induktion mit Teilbarkeit, sowie Summenformel konnte ich bisher lösen, aber hier beisse ich mir die Zähne aus. Weiss nicht wie ich am besten anfange
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Oben schreibst du, dass du Induktionsbeweise  schon gemacht hast.Also kennst du die Schritte Induktionsbeginn, -annahme,-behauptung..
Prüfen wir also die Behauptung.
\(R_{n+1}=r*\sum_{i=0}^{n}q^i=r*\sum_{i=0}^{n-1} q^i +r*q^n = r*{q^n -1 \over q-1}+r*q^n \).Jetzt \(r*q^n\) in Zähler und Nenner mit (q-1) erweitern,zusammenfassen und fertig.
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Vielen Dank, ja ich habe Induktionsbeweise bereits gemacht und zwar zu genüge. Bin aber leider nicht auf die Erweiterung mit q-1 gekommen, die ich ja analog bei den anderen Induktionen zigweise durchgeführt habe.

Danke für deine Geduld und die Hilfe.
  ─   user433bd3 27.12.2021 um 14:42

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Eine Hilfestellung: \( R_n= r*\sum_{i=0}^{n-1} q^i=r*{q^n-1 \over q-1}\)
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Ich dachte, dass ich die Induktion bei Teilbarkeit, sowie Summen verstanden habe, aber hier finde ich leider keinen Ansatz.

Ich habe versucht so anzufangen: Rn+1 = r* (q^n -1) / (q-1) + r * q^n

Leider weiss ich nicht genau was ich hier beweisen will. Mir fehlt komplett der Ansatz.
  ─   user433bd3 27.12.2021 um 01:04

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