Aus der Induktionsannahme \( \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \ge \frac{n}{n+1} \) folgt:

\( \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{(n+1)^2} + \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \ge \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{n}{n+1} \ge \frac{n+1}{(n+1)+1} \)

wobei wir die letzte Ungleichung wie folgt einsehen:

Wir definieren für \(x > 0\) die Funktion \( f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{x}{x+1} - \frac{x+1}{x+2} \). Es gilt \( f^{\prime}(x)= - \frac{3x+5}{(x+3)^3(x+2)^2} < 0 \) und \( \lim_{x \to \infty} f(x)=0 \), also ist \(f\) monoton fallend mit Grenzwert \(0\) und somit \(f(x) \ge 0\) bzw. \( \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{x}{x+1} \ge \frac{x+1}{x+2} \). Insbesondere gilt also \( \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{n}{n+1} \ge \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+1}{(n+1)+1}\).

Aus der Induktionsannahme \( \frac{2n-1}{n} \ge \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \) folgt:

\( \frac{2(n+1)-1}{n+1} \ge \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{2n-1}{n} \ge \frac{1}{(n+1)^2} + \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2} \)

wobei wir die erste Ungleichung wie folgt einsehen:

Wir definieren für \(x > 0\) die Funktion \( g(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2x-1}{x} - \frac{2x+1}{x+1} \). Es gilt \( g^{\prime}(x) = \frac{3x+1}{x^2(x+1)^3} > 0 \) und \( \lim_{x \to \infty} g(x)=0 \), also ist \(g\) monoton wachsend mit Grenzwert \(0\) und somit \(g(x) \le 0\) bzw. \( \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2x-1}{x} \le \frac{2x+1}{x+1} \). Insbesondere gilt also \( \frac{2(n+1)-1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1} \ge \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{2n-1}{n} \).