Grenzwert bestimmen und geometrische Reihe

Aufrufe: 589     Aktiv: 28.01.2020 um 21:38

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Hallo,

es geht um diese Folge und hierbei soll ich bestimmen, ob diese Folge Kovergent, bestimmt Divergent oder nicht bestimmbar ist.

`x_n=(7/6)^n`

Ich bin wie folgt vorgegangen habe das hoch n innerhalb der Klammer hineingezogen und anschließend `7^n` ausgeklammert.

1.  `(7^n)/(6^n)`

2.`((7^n)(1))/((7^n)(6^n/7^n)`

Und somit habe ich `1/0` erhalten, was für bestimmt divergent steht oder?

Eine weitere Frage von mir ist, wie ich hierbei vorgehen müsste, da ich keinen ansatz dafür habe:

 

Danke für die zukünftige Hilfe.

Gruß Aziz

 

 

 

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Nein, das ist formal eher so eine Art Kreisschluss, weil du ja nicht weißt, wohin `(6/7)^n` konvergiert - zumindest gehe ich davon aus, denn sonst hättest du das Ergebnis für `(7/6)^n` ja gleich angeben können, schließlich ist beides vom Typ `(x)^n`.

Angenommen du weißt, dass `e^n` für n gegen unendlich divergiert.

Dann kannst du schreiben: `(7/6)^n=(e^ln(7/6))^n=e^(n*ln(7/6))`

Nun weißt du auch, dass gilt: `ln(7/6)>1` und dass der Grenzwert einer (positiv) linearen Funktion wie `(n*ln(7/6))` unendlich ist. Also divergiert `(7/6)^n` bestimmt nach unendlich.

Wenn du die e-Funktion noch nicht kennst (im Sinne der Vorlesung), dann müsstest du mir erstmal die Kriterien nennen, die ihr schon kennst und benutzen dürft um das zu entscheiden, weil gerade die Konvergenz/Divergenz von `(x)^n` eigentlich Standard ist und als bekannt vorrausgesetzt werden kann. 

 

Zur geometrischen Reihe eines periodischen Bruches: 

Nun gilt offensichtlich (Zerlegung einer Dezimalzahl sollte bekannt sein):

`0.771717171... = 7/10+71/1.000+71/(100.000)+71/(10.000.000)`

`=7/10+71/1000*sum_{i=0}^{infty}(1/100)^n`

Der Grenzwert der geometrischen Reihe also `(1/(1-q))` für `q<1` sollte dir bekannt sein:

`7/10+71/1000*1/(1-1/100)=7/10+71/1000*1/(99/100)=7/10+7100/99000=7/10+71/990=(7*99+71)/990=764/990`

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