Den Begriff "Dimension einer Matrix" gibt es nicht und der ist auch in der Aufgabe nicht gefragt. "Dimension" bezieht sich (nur) auf Räume.
Es gilt Rang von B =  Anzahl lin. unabh. Spalten von B = Anzahl lin. unabh. Zeilen von B = dim Bild(b). Hier also 1.
b ist die lin. Abb., die als Abbildungsmatrix B hat, es gilt also b(x)=Bx.
Weiter gilt: dim V = dim kern(b) + dim Bild(b). Hier erhalten wir damit dim kern(b)=2.
Fertig.
Halte unbedingt und ganz streng die Begriffe auseinander und achte (ganz streng) auch die richtige Verwendung. Dann entsteht auch keine Verwirrung. Begriffe: Abbildung, Matrix, Dimension usw.

Die Rechnung sieht soweit gut aus. 

Mit Matrizen lassen sich lineare Abbildungen beschreiben. Die Matrix nennt man dann Abbildungsmatrix. Die Elemente im Kern, sind dann alle Vektoren, die auf 0 abgebildet werden. Und die Elemente im Bild ist dann entsprechend die Menge aller Vektoren, die man unter dieser Abbildung erhält. 

Man schreibt dann $f:V\rightarrow V, v\mapsto Bv$, also $v$ wird auf $Bv$ abgebildet. Sicherlich habt ihr das irgendwo definiert. Probiere doch einfach mal ein paar Vektoren aus dem $\mathbb{R}^3$ aus und versuche mal $\mathrm{ker}(f)$ und $\mathrm{im}(f)$ zu bestimmen. Die Dimensionen hast du ja schon richtig berechnet.