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Hallo, Leider konnte ich diese Aufgabe nicht machen , und ich finde dieses Thema (Fundamental satz der algebra ) sehr schwer :(
Kann das bitte jemand von euch lösen?🙏
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Mithilfe der Determinante ergibt sich $$\det(p(f))=\det((f-\mu_1\mathrm{id}_V)\cdots(f-\lambda_m\mathrm{id}_V))=\prod_{i=1}^m\det(f-\mu_i\mathrm{id}_V)=\prod_{i=1}^m\chi_f(\mu_i),$$ wobei \(\chi_f\) das charakteristische Polynom von \(f\) ist. Da wir über einem Körper arbeiten, ist also \(\det(p(f))=0\) genau dann, wenn \(\chi_f(\mu_i)=0\) für ein \(i\). Aber die Determinante ist genau dann 0, wenn die Abbildung nicht bijektiv ist, und das charakteristische Polynom ist genau dann 0, wenn das Argument ein Eigenwert ist. Daraus folgt die Behauptung.

Übrigens hat das überhaupt nichts mit dem Fundamentalsatz der Algebra zu tun (der besagt, dass jedes Polynom über \(\mathbb C\) mindestens eine Nullstelle hat)
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Die Richtung: "\(p(f)\) bijektiv \(\Rightarrow\) Die \(\mu_i\) sind keine Eigenwerte" ist ganz einfach: Angenommen, es gibt ein \(i\), sodass \(\mu_i\) ein Eigenwert ist, sei \(v\) ein zugehöriger Eigenvektor. Dann ist \(p(f)(v)=0\), also kann \(p(f)\) nicht injektiv sein.
Ich weiß nicht, warum der Hinweis dasteht. Vielleicht sollst du erst den Fall \(m=1\) irgendwie anders lösen und dann mit Induktion arbeiten oder so, aber mein Argument funktioniert für beliebiges \(m\).
  ─   stal 31.05.2021 um 15:13

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