Mithilfe der Determinante ergibt sich $$\det(p(f))=\det((f-\mu_1\mathrm{id}_V)\cdots(f-\lambda_m\mathrm{id}_V))=\prod_{i=1}^m\det(f-\mu_i\mathrm{id}_V)=\prod_{i=1}^m\chi_f(\mu_i),$$ wobei \(\chi_f\) das charakteristische Polynom von \(f\) ist. Da wir über einem Körper arbeiten, ist also \(\det(p(f))=0\) genau dann, wenn \(\chi_f(\mu_i)=0\) für ein \(i\). Aber die Determinante ist genau dann 0, wenn die Abbildung nicht bijektiv ist, und das charakteristische Polynom ist genau dann 0, wenn das Argument ein Eigenwert ist. Daraus folgt die Behauptung.

Übrigens hat das überhaupt nichts mit dem Fundamentalsatz der Algebra zu tun (der besagt, dass jedes Polynom über \(\mathbb C\) mindestens eine Nullstelle hat)