Dieser Beweis ist ein Widerspruchsbeweis. Der letzte Schritt funktioniert wie folgt:

Das Bild von \( \phi\) also \( \phi (\mathbb R^4 )\) ist ein Untervektorraum von \( \mathbb R^3\). In der Zeile darüber wurde gezeigt, dass \( \dim \left( \phi (\mathbb R^4) \right) =4 \) .

Als Untervektorraum von \( \mathbb R^3\) kann die Dimension von \( \phi (\mathbb R^4 )\) aber maximal \( 3\) sein. Damit erhält man den Widerspruch

\[ 4= \dim \left( \phi (\mathbb R^4) \right) \leq 3 .\]

Somit ist die Annahme am Anfang des Beweises, dass \( \phi \) injektiv ist, falsch.

Ich hoffe das hilft dir weiter.