Lineare Abbildung, nicht injektiv

Aufrufe: 29     Aktiv: 16.02.2021 um 16:43

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Hallo, könnte mir bitte einer die vorletzte Zeile erklären, also wieso die Dimension von phi von R^4 kleiner größer 3 ist...alles andere verstehe ich soweit
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Dieser Beweis ist ein Widerspruchsbeweis. Der letzte Schritt funktioniert wie folgt:

Das Bild von \( \phi\) also \( \phi (\mathbb R^4 )\) ist ein Untervektorraum von \( \mathbb R^3\). In der Zeile darüber wurde gezeigt, dass \( \dim \left( \phi (\mathbb R^4) \right) =4 \) .

Als Untervektorraum von \( \mathbb R^3\) kann die Dimension von \( \phi (\mathbb R^4 )\) aber maximal \( 3\) sein. Damit erhält man den Widerspruch

\[ 4= \dim \left( \phi (\mathbb R^4) \right) \leq 3 .\]

Somit ist die Annahme am Anfang des Beweises, dass \( \phi \) injektiv ist, falsch.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

 

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